Em uma base militar sob ataque, um lançador de projéteis só pode lançá-los num ângulo de 45^{\circ} em relação a horizontal. No instante t_{0}=0 o radar indica que um avião inimigo se aproxima com velocidade constante igual a 820 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, a uma altura constante de 400 m e a uma distância horizontal inicial de 2 km .
a) Qual deve ser o módulo da velocidade mínima ( v_{\text {min }} ) de lançamento do projétil para que o avião inimigo possa ser abatido?
b) Considere que o míssil será lançado com uma velocidade igual a 3 vezes a velocidade mínima, ou seja, v_{0}=3 v_{\text {min }}. Depois de quanto tempo (após t_{0} ) o projétil deve ser lançado para que o avião inimigo seja abatido? Em que instante de tempo (após t_{0} ) ocorre a colisão entre o projétil e o avião? E faça um desenho esquemático das trajetórias do avião e do projétil, indicando o ponto de impacto.
c) 0 avião será atingido quando o projétil está na ascendente ou na descendente? Justifique o seu resultado
d) A que distância horizontal da base o avião é abatido?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que se tem e o que se quer para não nos perdermos. Dados fornecidos (todos os números matemáticos estão em notação TeX):
t_{0}=0
\text{o avião: velocidade constante }v_{\text{avi}}=820\\ \text{km/h},\\ \text{altura constante }h=400\\ \text{m},\\ \text{distância horizontal inicial }x_{0}=2\\ \text{km}=2000\\ \text{m}.ãâ
\text{o lançador atira sempre a }45^\circ\\ \text{(medido em relação à horizontal).}ççãà
Perguntas:
a) Determinar o módulo da velocidade mínima \,v_{\text{min}}\, de lançamento do projétil para que seja possível atingir o avião.
b) Se o projétil é lançado com v_{0}=3v_{\text{min}}: quanto tempo (após t_{0}) deve-se esperar para lançar o projétil para que acerte o avião? Em que instante (após t_{0}) ocorre a colisão? Faça um desenho esquemático das trajetórias e indique o ponto de impacto.
c) O avião é atingido quando o projétil está na ascendente ou na descendente? Justifique.
d) A que distância horizontal da base o avião é abatido?
Observação: todos os passos de resolução virão depois; aqui apenas organizei os dados e as perguntas (conforme pedido).

Passo 2

Modelagem do movimento e fórmulas básicas (aulas rápidas e intuitivas).
Para um projétil lançado do solo com velocidade inicial \,v e ângulo \theta com a horizontal, decomponho \,v em componentes:
v_x = v\cos\theta,\qquad v_y = v\sin\theta.
Com aceleração vertical constante -g (vou usar \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}), as equações do movimento referidas ao tempo desde o lançamento (tempo de vôo do projétil) são
x(t)=v_x t,\qquad y(t)=v_y t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Aqui x(t) é a distância horizontal percorrida pelo projétil desde a base e y(t) é a altura do projétil no tempo t (medida desde o lançamento). No nosso problema o lançador só atira a \theta=45^\circ, portanto
\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}},
e as componentes ficam
v_x=\frac{v}{\sqrt{2}},\qquad v_y=\frac{v}{\sqrt{2}}.
O avião move-se horizontalmente em direção à base com velocidade constante; convertendo \,820\\ \text{km/h} para \mathrm{m/s}:
v_{\text{avi}}=\frac{820}{3{,}6}=\frac{2050}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx227{,}78\\ \mathrm{m/s}.
A posição horizontal do avião, medida a partir da base, no instante t (contando desde t_0=0) é
x_{\text{avi}}(t)=2000 - v_{\text{avi}}\,t.
Condição de colisão: em algum instante (ou seja, para algum par de tempos do lançamento e do avião) as posições coincidem em x e y. Se o projétil for lançado no instante t_{\text{L}} e o impacto ocorrer \tau segundos depois do lançamento, então o tempo absoluto da colisão é
T=t_{\text{L}}+\tau,
e as equações de colisão (igualdade de coordenadas no instante do impacto) são
\text{(i)}\quad \frac{v}{\sqrt{2}}\,\tau = 2000 - v_{\text{avi}}(t_{\text{L}}+\tau),
\text{(ii)}\quad \frac{v}{\sqrt{2}}\,\tau - \tfrac{1}{2}g\tau^2 = 400.
A equação (ii) vem de igualar a altura y(\tau) do projétil a 400\\ \mathrm{m}. A equação (i) iguala as abscissas. Essas são as equações que vamos usar.

Passo 3

Resolvendo a parte (a): achar a velocidade mínima \,v_{\text{min}}\, tal que exista solução com lançamento em t_{\text{L}}=0 (o caso mais favorável para existência de solução é tentar lançar imediatamente; se não houver solução no instante zero, podemos estudar lançar depois, mas para obter a velocidade mínima necessária em geral setamos t_{\text{L}}=0 e pedimos que exista algum \tau>0 que satisfaça as equações). Assim tomo t_{\text{L}}=0. Então as equações ficam (substituo v_x=v/\sqrt{2}):
\frac{v}{\sqrt{2}}\,\tau = 2000 - v_{\text{avi}}\,\tau,
\frac{v}{\sqrt{2}}\,\tau - \tfrac{1}{2}g\tau^2 = 400.
Da primeira equação isolamos \tau (ou melhor expressamos a relação). Coloco a=\dfrac{v}{\sqrt{2}} para simplificar (é a componente horizontal e vertical iniciais, iguais quando \theta=45^\circ). Assim
a\tau = 2000 - v_{\text{avi}}\,\tau \quad\Rightarrow\quad \tau=\frac{2000}{a+v_{\text{avi}}}.
Substituo essa \tau na equação vertical:
a\cdot\frac{2000}{a+v_{\text{avi}}} - \tfrac{1}{2}g\left(\frac{2000}{a+v_{\text{avi}}}\right)^2 = 400.
Multiplico ambos os lados por (a+v_{\text{avi}})^2 para eliminar denominadores:
2000a(a+v_{\text{avi}}) - \tfrac{1}{2}g\cdot 2000^2 = 400(a+v_{\text{avi}})^2.
Faço as expansões e organizo como equação quadrática em a. Desenvolvendo e rearranjando (mostro passo a passo os coeficientes):
2000a^2 +2000v_{\text{avi}}a -2\,000\,000\,g = 400a^2 +800v_{\text{avi}}a +400v_{\text{avi}}^2.
Passando tudo para o lado esquerdo:
(2000-400)a^2 + (2000v_{\text{avi}}-800v_{\text{avi}})a - (2\,000\,000\,g + 400v_{\text{avi}}^2)=0
1600a^2 +1200v_{\text{avi}}a - (2\,000\,000\,g + 400v_{\text{avi}}^2)=0.
Divido por 100 para simplificar:
16a^2 + 12v_{\text{avi}}a - (20{,}000\,g + 4v_{\text{avi}}^2)=0.
Isto é uma quadrática na variável a. Para existir solução real positiva a precisamos simplesmente resolver essa quadrática e escolher a raiz positiva mínima (pois v=\sqrt{2}a). A fórmula de Bhaskara dá
a=\frac{-12v_{\text{avi}} \pm \sqrt{(12v_{\text{avi}})^2 + 64(20{,}000\,g + 4v_{\text{avi}}^2)}}{32}.
Simplificando o discriminante (mostro o passo de simplificação):
\Delta = 144v_{\text{avi}}^2 + 64\cdot 20{,}000\,g + 256 v_{\text{avi}}^2 = 400 v_{\text{avi}}^2 + 1{,}280{,}000\,g.
Portanto a raiz positiva (a que nos interessa) é com o sinal + no numerador:
a_{\min}=\frac{-12v_{\text{avi}} + \sqrt{400 v_{\text{avi}}^2 + 1{,}280{,}000\,g}}{32}.
E então
v_{\text{min}}=\sqrt{2}\,a_{\min}.
Agora substituo valores numéricos: v_{\text{avi}}=\dfrac{2050}{9}\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Calculando numericamente (mostro os valores usados):
v_{\text{avi}}=\frac{2050}{9}\approx227{,}7777778\\ \mathrm{m/s},
400 v_{\text{avi}}^2 + 1{,}280{,}000\,g \approx 33{,}304{,}493{,}8272\quad(\text{valor numérico}).é
A raiz quadrada vale aproximadamente \sqrt{\cdot}\approx 5{,}771{,}004{,}576. Assim
a_{\min}\approx\frac{-2733{,}3333333 + 5771{,}004576}{32}\approx 94{,}9266012\\ \mathrm{m/s}.
Finalmente
v_{\text{min}}=\sqrt{2}\,a_{\min}\approx 1{,}41421356\times 94{,}9266012\approx 134{,}2465\\ \mathrm{m/s}.
Para referência em km/h:
v_{\text{min}}\approx 134{,}2465\times 3{,}6\approx 483{,}29\\ \mathrm{km/h}.

Passo 4

Parte (b): agora o projétil será lançado com \,v_{0}=3v_{\text{min}}. Vamos achar o instante de lançamento t_{\text{L}} (tempo após t_0) e o instante de colisão T.
Primeiro calculemos v_0 e a componente a_0=\dfrac{v_0}{\sqrt{2}}:
v_0=3v_{\text{min}}\approx 3\times 134{,}2465\\ \mathrm{m/s}\approx 402{,}7395\\ \mathrm{m/s},
a_0=\frac{v_0}{\sqrt{2}}\approx 284{,}7798\\ \mathrm{m/s}.
Como já escrevemos antes, as equações que relacionam o tempo de voo do projétil \tau, o atraso de lançamento t_{\text{L}} e o instante absoluto de colisão T são:
\text{(1)}\quad a_0\,\tau = 2000 - v_{\text{avi}}(t_{\text{L}}+\tau),
\text{(2)}\quad a_0\,\tau - \tfrac{1}{2}g\tau^2 = 400.
A equação (2) depende só de \tau (uma vez conhecido a_0), portanto resolvemos primeiro (2) para \tau. Reescrevo (2) como uma quadrática em \tau:
\tfrac{1}{2}g\tau^2 - a_0\tau + 400 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4{,}9\tau^2 - a_0\tau + 400 = 0.
Aplicando Bhaskara:
\tau=\frac{a_0\pm\sqrt{a_0^2 - 4\cdot 4{,}9\cdot 400}}{2\cdot 4{,}9}.
Substituindo a_0\approx 284{,}7798\\ \mathrm{m/s}, calculo o discriminante:
\Delta_\tau = a_0^2 - 7{,}840 \approx 81{,}099{,}65 - 7{,}840 \approx 73{,}259{,}65.
Logo \sqrt{\Delta_\tau}\approx 270{,}676. Assim os dois valores possíveis de \tau são aproximados por
\tau_1\approx\frac{284{,}7798 - 270{,}676}{9{,}8}\approx \frac{14{,}1038}{9{,}8}\approx 1{,}4397\\ \mathrm{s},
\tau_2\approx\frac{284{,}7798 + 270{,}676}{9{,}8}\approx \frac{555{,}4558}{9{,}8}\approx 56{,}67\\ \mathrm{s}.
Interpretação física: existem duas alturas do trajeto onde o projétil tem y=400\\ \mathrm{m}: uma na ascendente (tempo menor \tau_1) e outra na descendente (tempo maior \tau_2). Agora usamos a equação (1) para obter t_{\text{L}}:
t_{\text{L}}=\frac{2000 - \tau(a_0 + v_{\text{avi}})}{v_{\text{avi}}}.
Calculo para cada \tau:
  • Para \tau_1\approx 1{,}4397\\ \mathrm{s},
\tau_1(a_0+v_{\text{avi}})\approx 1{,}4397\times(284{,}7798+227{,}7778)\approx 1{,}4397\times512{,}5576\approx 737{,}9187\\ \mathrm{m},
t_{\text{L}}^{(1)}\approx\frac{2000-737{,}9187}{227{,}7778}\approx\frac{1262{,}0813}{227{,}7778}\approx 5{,}542\\ \mathrm{s}.
O instante de colisão absoluto é
T^{(1)}=t_{\text{L}}^{(1)}+\tau_1\approx 5{,}542 + 1{,}4397 \approx 6{,}9817\\ \mathrm{s}.
  • Para \tau_2\approx 56{,}67\\ \mathrm{s},
\tau_2(a_0+v_{\text{avi}}) \gg 2000\\ \mathrm{m},
portanto t_{\text{L}}^{(2)} seria negativo (isto é, exigiria lançar o projétil antes de t_0), o que não é possível. Logo a solução fisicamente válida é a com \tau_1.
Portanto: o projétil, lançado com v_0=3v_{\text{min}}, deve ser lançado aproximadamente 5{,}54\\ \mathrm{s} após t_0, e a colisão ocorre aproximadamente no instante T\approx 6{,}98\\ \mathrm{s} após t_0.
Desenho esquemático (texto, para você rabiscar rápido):
  • Eixo horizontal: base na origem x=0.
  • O avião vem da direita, numa linha horizontal a y=400\\ \mathrm{m} começando em x=2000\\ \mathrm{m} e movendo-se para a esquerda; marque uma seta esquerda com velocidade v_{\text{avi}}.
  • O projétil parte da origem descrevendo uma parábola para cima (trajetória do projétil) num arco que cruza a reta horizontal do avião em um ponto a cerca de x\approx 410\\ \mathrm{m} e y=400\\ \mathrm{m} — esse é o ponto de impacto.
    Um esboço ASCII simplificado (não em escala):
    \n
    avião —> -------------------------- (linha reta a y=400 m)
    ^
    | <- ponto de impacto (≈ x=410 m, y=400 m)
    (parábola do projétil subindo desde a base e cortando a linha do avião)
    \n

Passo 5

Parte (c): determinar se o impacto ocorre na ascendente ou descendente e justificar.
Como encontramos duas soluções de \tau para quando o projétil tem altura 400\\ \mathrm{m}, a solução física válida foi \tau_1\approx 1{,}4397\\ \mathrm{s} (a outra exigiria lançamento antes de t_0). Para \tau_1 calculamos a velocidade vertical do projétil naquele instante:
v_y(\tau)=a_0 - g\tau.
Substituindo números:
v_y(\tau_1)\approx 284{,}7798 - 9{,}8\times 1{,}4397 \approx 284{,}7798 - 14{,}11 \approx 270{,}67\\ \mathrm{m/s},
que é positivo. Velocidade vertical positiva significa que o projétil ainda está subindo — isto é, está na parte ascendente da trajetória. Portanto o avião é atingido na ascendente. Justificação: o tempo menor \tau_1 corresponde à interseção com a altura 400\\ \mathrm{m} antes do vértice da parábola; a componente vertical da velocidade ainda é positiva.

Passo 6

Parte (d): calcular a distância horizontal da base onde ocorre o abate.
Podemos usar a posição horizontal do avião no instante de colisão T ou a posição horizontal do projétil após \tau_1; os dois dão o mesmo número. Usei x_{\text{impact}}=2000 - v_{\text{avi}}T. Substituindo os valores numéricos obtidos:
v_{\text{avi}}T \approx 227{,}7778\times 6{,}9817 \approx 1590{,}276\\ \mathrm{m},
x_{\text{impact}}\approx 2000 - 1590{,}276 \approx 409{,}724\\ \mathrm{m}.
Confirmação via projétil: x_{\text{proj}}=a_0\tau_1\approx 284{,}7798\times 1{,}4397\approx 409{,}724\\ \mathrm{m}, mesma coisa (boa checagem). Portanto a distância horizontal da base é aproximadamente 410\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resumo numérico e incentivo (rápido, garanto que você consegue decorar os passos): valores finais arredondados com 3 casas significativas quando faz sentido:
  • velocidade mínima de lançamento \,v_{\text{min}}\approx 134{,}25\\ \mathrm{m/s} (aprox. 483{,}29\\ \mathrm{km/h});
  • com v_0=3v_{\text{min}}: esperar t_{\text{L}}\approx 5{,}54\\ \mathrm{s} após t_0 para lançar; colisão no instante T\approx 6{,}98\\ \mathrm{s} após t_0;
  • o projétil atinge o avião na ascendente (justificativa: componente vertical da velocidade no impacto é positiva);
  • distância horizontal do ponto de impacto à base x_{\text{impact}}\approx 409{,}7\\ \mathrm{m} (≈ 410\\ \mathrm{m}).
Vai dar certo na prova: decore o sistema (equação horizontal + vertical), faça a substituição a=v/\sqrt2 quando \theta=45^\circ e trate as quadráticas com calma — eu te acompanhei passo a passo.

Resposta

v_{\text{min}}\approx 134{,}25\\ \mathrm{m/s} (≈ 483{,}29\\ \mathrm{km/h}).
Tempo de espera para lançar: t_{\text{L}}\approx 5{,}54\\ \mathrm{s}.
Instante da colisão: T\approx 6{,}98\\ \mathrm{s} (após t_0).
O projétil atinge o avião na ascendente.
Distância horizontal da base do ponto de impacto: x_{\text{impact}}\approx 409{,}7\\ \mathrm{m}.

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