Em uma base militar sob ataque, um lançador de projéteis só pode lançá-los num ângulo de
em relação a horizontal. No instante
o radar indica que um avião inimigo se aproxima com velocidade constante igual a
, a uma altura constante de 400 m e a uma distância horizontal inicial de 2 km .
a) Qual deve ser o módulo da velocidade mínima (
) de lançamento do projétil para que o avião inimigo possa ser abatido?
b) Considere que o míssil será lançado com uma velocidade igual a 3 vezes a velocidade mínima, ou seja,
. Depois de quanto tempo (após
) o projétil deve ser lançado para que o avião inimigo seja abatido? Em que instante de tempo (após
) ocorre a colisão entre o projétil e o avião? E faça um desenho esquemático das trajetórias do avião e do projétil, indicando o ponto de impacto.
c) 0 avião será atingido quando o projétil está na ascendente ou na descendente? Justifique o seu resultado
d) A que distância horizontal da base o avião é abatido?
a) Qual deve ser o módulo da velocidade mínima (
b) Considere que o míssil será lançado com uma velocidade igual a 3 vezes a velocidade mínima, ou seja,
c) 0 avião será atingido quando o projétil está na ascendente ou na descendente? Justifique o seu resultado
d) A que distância horizontal da base o avião é abatido?
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que se tem e o que se quer para não nos perdermos. Dados fornecidos (todos os números matemáticos estão em notação TeX):
Perguntas:
a) Determinar o módulo da velocidade mínima de lançamento do projétil para que seja possível atingir o avião.
b) Se o projétil é lançado com : quanto tempo (após
) deve-se esperar para lançar o projétil para que acerte o avião? Em que instante (após
) ocorre a colisão? Faça um desenho esquemático das trajetórias e indique o ponto de impacto.
c) O avião é atingido quando o projétil está na ascendente ou na descendente? Justifique.
d) A que distância horizontal da base o avião é abatido?
a) Determinar o módulo da velocidade mínima
b) Se o projétil é lançado com
c) O avião é atingido quando o projétil está na ascendente ou na descendente? Justifique.
d) A que distância horizontal da base o avião é abatido?
Observação: todos os passos de resolução virão depois; aqui apenas organizei os dados e as perguntas (conforme pedido).
Passo 2
Modelagem do movimento e fórmulas básicas (aulas rápidas e intuitivas).
Para um projétil lançado do solo com velocidade inicial e ângulo
com a horizontal, decomponho
em componentes:
Para um projétil lançado do solo com velocidade inicial
Com aceleração vertical constante
(vou usar
), as equações do movimento referidas ao tempo desde o lançamento (tempo de vôo do projétil) são
Aqui
é a distância horizontal percorrida pelo projétil desde a base e
é a altura do projétil no tempo
(medida desde o lançamento). No nosso problema o lançador só atira a
, portanto
e as componentes ficam
O avião move-se horizontalmente em direção à base com velocidade constante; convertendo
para
:
A posição horizontal do avião, medida a partir da base, no instante
(contando desde
) é
Condição de colisão: em algum instante (ou seja, para algum par de tempos do lançamento e do avião) as posições coincidem em
e
. Se o projétil for lançado no instante
e o impacto ocorrer
segundos depois do lançamento, então o tempo absoluto da colisão é
e as equações de colisão (igualdade de coordenadas no instante do impacto) são
A equação (ii) vem de igualar a altura
do projétil a
. A equação (i) iguala as abscissas. Essas são as equações que vamos usar.
Passo 3
Resolvendo a parte (a): achar a velocidade mínima
tal que exista solução com lançamento em
(o caso mais favorável para existência de solução é tentar lançar imediatamente; se não houver solução no instante zero, podemos estudar lançar depois, mas para obter a velocidade mínima necessária em geral setamos
e pedimos que exista algum
que satisfaça as equações). Assim tomo
. Então as equações ficam (substituo
):
Da primeira equação isolamos
(ou melhor expressamos a relação). Coloco
para simplificar (é a componente horizontal e vertical iniciais, iguais quando
). Assim
Substituo essa
na equação vertical:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Faço as expansões e organizo como equação quadrática em
. Desenvolvendo e rearranjando (mostro passo a passo os coeficientes):
Passando tudo para o lado esquerdo:
Divido por
para simplificar:
Isto é uma quadrática na variável
. Para existir solução real positiva
precisamos simplesmente resolver essa quadrática e escolher a raiz positiva mínima (pois
). A fórmula de Bhaskara dá
Simplificando o discriminante (mostro o passo de simplificação):
Portanto a raiz positiva (a que nos interessa) é com o sinal
no numerador:
E então
Agora substituo valores numéricos:
e
. Calculando numericamente (mostro os valores usados):
A raiz quadrada vale aproximadamente
. Assim
Finalmente
Para referência em km/h:
Passo 4
Parte (b): agora o projétil será lançado com
. Vamos achar o instante de lançamento
(tempo após
) e o instante de colisão
.
Primeiro calculemos e a componente
:
Primeiro calculemos
Como já escrevemos antes, as equações que relacionam o tempo de voo do projétil
, o atraso de lançamento
e o instante absoluto de colisão
são:
A equação (2) depende só de
(uma vez conhecido
), portanto resolvemos primeiro (2) para
. Reescrevo (2) como uma quadrática em
:
Aplicando Bhaskara:
Substituindo
, calculo o discriminante:
Logo
. Assim os dois valores possíveis de
são aproximados por
Interpretação física: existem duas alturas do trajeto onde o projétil tem
: uma na ascendente (tempo menor
) e outra na descendente (tempo maior
). Agora usamos a equação (1) para obter
:
Calculo para cada
:
- Para
,
O instante de colisão absoluto é
- Para
,
portanto
seria negativo (isto é, exigiria lançar o projétil antes de
), o que não é possível. Logo a solução fisicamente válida é a com
.
Portanto: o projétil, lançado com
, deve ser lançado aproximadamente
após
, e a colisão ocorre aproximadamente no instante
após
.
Desenho esquemático (texto, para você rabiscar rápido):
- Eixo horizontal: base na origem
. - O avião vem da direita, numa linha horizontal a
começando em e movendo-se para a esquerda; marque uma seta esquerda com velocidade . - O projétil parte da origem descrevendo uma parábola para cima (trajetória do projétil) num arco que cruza a reta horizontal do avião em um ponto a cerca de
e — esse é o ponto de impacto.
Um esboço ASCII simplificado (não em escala):
\n
avião —> -------------------------- (linha reta a y=400 m)
^
| <- ponto de impacto (≈ x=410 m, y=400 m)
(parábola do projétil subindo desde a base e cortando a linha do avião)
\n
Passo 5
Parte (c): determinar se o impacto ocorre na ascendente ou descendente e justificar.
Como encontramos duas soluções de para quando o projétil tem altura
, a solução física válida foi
(a outra exigiria lançamento antes de
). Para
calculamos a velocidade vertical do projétil naquele instante:
Como encontramos duas soluções de
Substituindo números:
que é positivo. Velocidade vertical positiva significa que o projétil ainda está subindo — isto é, está na parte ascendente da trajetória. Portanto o avião é atingido na ascendente. Justificação: o tempo menor
corresponde à interseção com a altura
antes do vértice da parábola; a componente vertical da velocidade ainda é positiva.
Passo 6
Parte (d): calcular a distância horizontal da base onde ocorre o abate.
Podemos usar a posição horizontal do avião no instante de colisão ou a posição horizontal do projétil após
; os dois dão o mesmo número. Usei
. Substituindo os valores numéricos obtidos:
Podemos usar a posição horizontal do avião no instante de colisão
Confirmação via projétil:
, mesma coisa (boa checagem). Portanto a distância horizontal da base é aproximadamente
.
Passo 7
Resumo numérico e incentivo (rápido, garanto que você consegue decorar os passos): valores finais arredondados com 3 casas significativas quando faz sentido:
- velocidade mínima de lançamento
(aprox. ); - com
: esperar após para lançar; colisão no instante após ; - o projétil atinge o avião na ascendente (justificativa: componente vertical da velocidade no impacto é positiva);
- distância horizontal do ponto de impacto à base
(≈ ).
Vai dar certo na prova: decore o sistema (equação horizontal + vertical), faça a substituição
quando
e trate as quadráticas com calma — eu te acompanhei passo a passo.
Resposta
Tempo de espera para lançar:
Instante da colisão:
O projétil atinge o avião na ascendente.
Distância horizontal da base do ponto de impacto: