Um oscilador harmônico simples consiste em um bloco de massa m=80 g preso a uma mola de constante elástica k=40 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O sistema possui uma energia mecánica E_{\text {mec }}=2 \mathrm{~J}. No instante t=0, a posição do oscilador é -x_{m} / 2 e a velocidade é negativa, determine: ( 5,0 pontos)
a) a amplitude das oscilações ( x_{m} );
b) o período das oscilações (T);
c) a constante de fase do movimento ( \varphi ).

Passo 1

O enunciado dá um oscilador massa-mola e pede três coisas. Dados fornecidos:
m=80\\ \mathrm{g},\qquad k=40\\ \mathrm{N/m},\qquad E_{\text{mec}}=2\\ \mathrm{J}
Condição inicial no instante t=0:
x(0)=-\frac{x_m}{2}\quad\text{e}\quad v(0)\\ \text{é negativa}.é
Perguntas:
a) determinar a amplitude das oscilações x_m;
b) determinar o período T;
c) determinar a constante de fase \varphi.

Passo 2

Primeiro claro e devagar: como achar a amplitude usando energia. Em um movimento harmônico simples a energia mecânica é constante e, quando a massa está na amplitude, toda a energia é potencial elástica. A fórmula que relaciona a energia mecânica E_{\text{mec}}, a constante da mola k e a amplitude A (aqui A\equiv x_m) é
E_{\text{mec}}=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
Explicando as variáveis: E_{\text{mec}} é a energia total (em joules), k é a constante elástica (em \mathrm{N/m}) e A é a amplitude (em metros). Isolando A:
A=\sqrt{\frac{2E_{\text{mec}}}{k}}.
Agora calculamos. Primeiro converto a massa (apenas informação, não necessária para este passo):
m=80\\ \mathrm{g}=0,08\\ \mathrm{kg}.
Substituindo os números:
A=\sqrt{\frac{2\cdot 2}{40}}=\sqrt{\frac{4}{40}}=\sqrt{0,1}.
A=\sqrt{0,1}\approx 0,3162277\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos, A\approx 0,316\\ \mathrm{m}. (Respirei fundo junto com você — amplitude encontrada!)

Passo 3

Agora o período T. A frequência angular \omega do oscilador massa-mola é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
O período T é o tempo de uma oscilação completa e relaciona-se com \omega por
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Aqui m em \mathrm{kg} e k em \mathrm{N/m}. Substituindo m=0,08\\ \mathrm{kg} e k=40\\ \mathrm{N/m}:
\frac{m}{k}=\frac{0,08}{40}=0,002.
\sqrt{\frac{m}{k}}=\sqrt{0,002}\approx 0,0447214\\ \mathrm{s}.
T=2\pi\cdot 0,0447214\approx 0,281\\ \mathrm{s}.
Portanto o período é aproximadamente 0,281\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Agora vamos achar a constante de fase \varphi. Vou escrever a forma padrão do deslocamento em função do tempo (escolhi a forma com cosseno porque é direta para aplicar condição em t=0):
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude (já achada), \omega=\sqrt{k/m} e \varphi é a fase inicial que queremos. A velocidade é a derivada temporal:
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Em t=0 temos:
x(0)=A\cos\varphi,\qquad v(0)=-A\omega\sin\varphi.
A condição do enunciado diz x(0)=-\dfrac{A}{2}. Substituindo:
A\cos\varphi=-\frac{A}{2}\quad\Rightarrow\quad \cos\varphi=-\frac{1}{2}.
As soluções gerais para \cos\varphi=-\tfrac{1}{2} são
\varphi=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{ou}\quad \varphi=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Ainda não escolhemos qual das duas usando só a posição.

Passo 5

Agora usamos a informação sobre a velocidade: v(0) é negativa. Temos
v(0)=-A\omega\sin\varphi.
Como A>0 e \omega>0, o sinal de v(0) é o sinal de -\sin\varphi. Queremos v(0)<0, então é necessário que -\sin\varphi<0, isto é \sin\varphi>0.
Verificamos seno nas duas possíveis fases:
\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}>0,\qquad \sin\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0.
Portanto a escolha compatível com v(0)<0 é
\varphi=\frac{2\pi}{3}\\ (\text{mod }2\pi).
Tomamos o valor principal \varphi=\dfrac{2\pi}{3} radianos.

Resposta

x_{m}=0,316\\ \mathrm{m}
T=0,281\\ \mathrm{s}
\varphi=\dfrac{2\pi}{3}\\ \mathrm{rad}

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