Um oscilador harmônico simples consiste em um bloco de massa
preso a uma mola de constante elástica
. O sistema possui uma energia mecánica
. No instante
, a posição do oscilador é
e a velocidade é negativa, determine: ( 5,0 pontos)
a) a amplitude das oscilações (
);
b) o período das oscilações (T);
c) a constante de fase do movimento (
).
a) a amplitude das oscilações (
b) o período das oscilações (T);
c) a constante de fase do movimento (
Passo 1
O enunciado dá um oscilador massa-mola e pede três coisas. Dados fornecidos:
Condição inicial no instante
:
Perguntas:
a) determinar a amplitude das oscilações ;
b) determinar o período ;
c) determinar a constante de fase .
a) determinar a amplitude das oscilações
b) determinar o período
c) determinar a constante de fase
Passo 2
Primeiro claro e devagar: como achar a amplitude usando energia. Em um movimento harmônico simples a energia mecânica é constante e, quando a massa está na amplitude, toda a energia é potencial elástica. A fórmula que relaciona a energia mecânica
, a constante da mola
e a amplitude
(aqui
) é
Explicando as variáveis:
é a energia total (em joules),
é a constante elástica (em
) e
é a amplitude (em metros). Isolando
:
Agora calculamos. Primeiro converto a massa (apenas informação, não necessária para este passo):
Substituindo os números:
Arredondando com três algarismos significativos,
. (Respirei fundo junto com você — amplitude encontrada!)
Passo 3
Agora o período
. A frequência angular
do oscilador massa-mola é
O período
é o tempo de uma oscilação completa e relaciona-se com
por
Aqui
em
e
em
. Substituindo
e
:
Portanto o período é aproximadamente
.
Passo 4
Agora vamos achar a constante de fase
. Vou escrever a forma padrão do deslocamento em função do tempo (escolhi a forma com cosseno porque é direta para aplicar condição em
):
onde
é a amplitude (já achada),
e
é a fase inicial que queremos. A velocidade é a derivada temporal:
Em
temos:
A condição do enunciado diz
. Substituindo:
As soluções gerais para
são
Ainda não escolhemos qual das duas usando só a posição.
Passo 5
Agora usamos a informação sobre a velocidade:
é negativa. Temos
Como
e
, o sinal de
é o sinal de
. Queremos
, então é necessário que
, isto é
.
Verificamos seno nas duas possíveis fases:
Portanto a escolha compatível com
é
Tomamos o valor principal
radianos.