Dados dois vetores a=2 i-j e b=i-j, determine o módulo e a direção de: (a) a, (b) b,
© (a-b),
(d) (a+b)
(e) (b-a).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o módulo (comprimento) e a direção (ângulo) de alguns vetores no plano:
  • vec a = 2hat i - hat j
  • vec b = hat i - hat j
    E também das combinações: vec a - vec b, vec a + vec b e vec b - vec a.
    Matéria: geometria vetorial no plano.
    O que vamos usar:
  1. Para qualquer vetor vec v=(vx,vy), o módulo é
|vec v| = raizvx^2 + vy^2;
2) A direção (ângulo theta em relação ao eixo x) é
theta = arctan!l(vy/vxr),
com cuidado pra escolher o quadrante certo.

Passo 2

Vetor vec a=(2,-1):
  • Módulo:
|vec a| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4+1 = raiz5;
- Direção:
thetaa = arctan!l(-1/2r)approx -26,6^circ
Se quiser no intervalo 0^circ 360^circ, faz 360-26,6=333,4^circ.

Passo 3

Vetor vec b=(1,-1):
  • Módulo:
|vec b| = raiz1^2+(-1)^2 = raiz2;
- Direção:
thetab = arctan!l(-1/1r) = -45^circ
ou, em 0 360^circ, 315^circ.

Passo 4

Vetor vec a - vec b = (2-1,,-1-(-1)) = (1,0):
  • Módulo:
|vec a - vec b| = raiz1^2+0^2 = 1;
- Direção:
theta = arctan(0/1) = 0^circ;

Passo 5

Vetor vec a + vec b = (2+1,,-1+(-1)) = (3,-2):
  • Módulo:
|vec a + vec b| = raiz3^2+(-2)^2 = raiz9+4 = raiz13;
- Direção:
theta = arctan!l(-2/3r)approx -33,7^circ
ou 360-33,7=326,3^circ.

Passo 6

Vetor vec b - vec a = (1-2,,-1-(-1)) = (-1,0):
  • Módulo:
|vec b - vec a| = raiz(-1)^2+0^2 = 1;
- Direção:
theta = arctan(0/(-1))
como ele aponta pra esquerda, theta=180^circ.

Resposta

(a) |vec a| = raiz5, thetaa approx -26,6^circ;(333,4^circ)
(b) |vec b| = raiz2, thetab = -45^circ;(315^circ)
© |vec a-vec b| = 1, theta = 0^circ
(d) |vec a+vec b| = raiz13, theta approx -33,7^circ;(326,3^circ)
(e) |vec b-vec a| = 1, theta = 180^circ

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