Dados dois vetores a=4,0 i-3,0 j e b=6,0 i+8,0 j, calcule o módulo de orientação de
a-b. Qual é a relação entre as orientações dos últimos dois vetores?

Passo 1

Temos dois vetores em \mathbb{R}^2,
a = 4{,}0\,i - 3{,}0\,j, \quad b = 6{,}0\,i + 8{,}0\,j,
e o enunciado pede o módulo e a orientação do vetor a - b. Para isso vamos usar:
  1. A operação de subtração de vetores componente a componente.
  2. A definição de módulo \|v\| = \sqrt{v_x^2+v_y^2}.
  3. A função \mathrm{atan2}(y,x) para achar o ângulo no quadrante correto.
    Depois, vamos comparar as orientações de a e de b para ver a relação entre elas.

Passo 2

Calculamos primeiro o vetor diferença componete a componente:
a - b = (4{,}0 - 6{,}0)\,i + (-3{,}0 - 8{,}0)\,j = -2{,}0\,i -11{,}0\,j.

Passo 3

O módulo de a - b é
\|\,a - b\| = \sqrt{(-2{,}0)^2 + (-11{,}0)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}.

Passo 4

Para a orientação de a - b, usamos
\theta_{a-b} = \mathrm{atan2}(y,x) = \mathrm{atan2}(-11{,}0,\,-2{,}0).
Como x<0 e y<0, o ângulo cai no terceiro quadrante. Numericamente
\theta_{a-b} \approx -100{,}3^\circ \quad(\text{o que equivale a }259{,}7^\circ\text{ no giro positivo}).

Passo 5

Agora achamos as orientações de a e de b separadamente:
\theta_a = \mathrm{atan2}(-3{,}0,\,4{,}0) \approx -36{,}87^\circ, \quad \theta_b = \mathrm{atan2}(8{,}0,\,6{,}0) \approx 53{,}13^\circ.

Passo 6

A diferença entre essas orientações é
\theta_b - \theta_a \approx 53{,}13^\circ - (-36{,}87^\circ) = 90{,}00^\circ,
ou seja, os vetores a e b são perpendiculares.

Resposta

O módulo de a - b é 5\sqrt{5} e sua orientação é aproximadamente -100{,}3^\circ (ou 259{,}7^\circ).
As orientações de a e de b diferem exatamente 90^\circ, logo a e b são perpendiculares.

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