Depois da tacada inicial, um golfista necessitou de mais três tacadas para colocar a bola no buraco. Na primeira, a bola se deslocou 12 m para o norte; na segunda, 6 m para sudoeste; na terceira, 3 m para sudeste. Que deslocamento seria necessário para colocar a bola no buraco com umaúnica tacada após a tacada inicial?

Passo 1

O enunciado descreve três deslocamentos consecutivos a partir da posição após a tacada inicial, e pede o deslocamento único que leva a bola do ponto final de volta ao buraco. O conteúdo aqui é soma de vetores em plano e, em seguida, calcular o vetor de retorno (que é o oposto do vetor resultante) e suas características (módulo e direção).

Passo 2

Definimos um sistema de coordenadas cartesianas em que o eixo x aponta para leste e o eixo y aponta para norte. Cada deslocamento será expresso em componentes (x,y).

Passo 3

Expressamos os três deslocamentos em componentes: \displaystyle \vec d_1 (12 m para norte)
\vec d_1 = (0,\;12). \displaystyle \vec d_2 (6 m para sudoeste, isto é, 225^\circ contado a partir do eixo x positivo)
\vec d_2 = \bigl(6\cos225^\circ,\;6\sin225^\circ\bigr) = \bigl(-3\sqrt2,\;-3\sqrt2\bigr). \displaystyle \vec d_3 (3 m para sudeste, isto é, 315^\circ)
\vec d_3 = \bigl(3\cos315^\circ,\;3\sin315^\circ\bigr) = \bigl(1{,}5\sqrt2,\;-1{,}5\sqrt2\bigr).

Passo 4

Somamos as três componentes para obter o deslocamento resultante
\vec R = \vec d_1 + \vec d_2 + \vec d_3 = \bigl(0 -3\sqrt2 +1{,}5\sqrt2,\;12 -3\sqrt2 -1{,}5\sqrt2\bigr) = \bigl(-1{,}5\sqrt2,\;12 -4{,}5\sqrt2\bigr).

Passo 5

O vetor que leva do ponto final de volta ao buraco é \displaystyle \vec S = -\,\vec R, ou seja
\vec S = \bigl(1{,}5\sqrt2,\;-\,\bigl(12 -4{,}5\sqrt2\bigr)\bigr) \approx (2{,}12,\;-5{,}64).
O módulo de \vec S é
\|\vec S\| = \sqrt{(2{,}12)^2 + (-5{,}64)^2} \approx 6{,}02\\ \text{m}.
Para achar a direção, calculamos o ângulo que \vec S faz com o eixo x (leste):
\theta = \arctan\bigl(\tfrac{-5{,}64}{2{,}12}\bigr) \approx -69{,}4^\circ,
isto é, 69{,}4^\circ ao sul do leste, equivalente a 20{,}6^\circ ao leste do sul.

Resposta

O golfista deveria aplicar uma tacada de aproximadamente 6{,}02 m, na direção 69{,}4^\circ ao sul do leste (ou 20{,}6^\circ ao leste do sul).

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