Dados dois vetores nāo colineares no plano u e v, sempre é possível escrever qualquer vetor do plano, de maneira única como combinaçāo linear de u e v, ou seja, existem números \alpha e \beta tais que w=\alpha u+\beta v. Responda os itens abaixo:
(a) Escreva w=(2,9) como combinação de u=(-1,1) e v=(3,1).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor (2,9) como combinação linear de
u = (-1,1) \quad\text{e}\quad v = (3,1).
Isto é, encontrar escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\,u + \beta\,v = (2,9).
Para isso, vamos montar e resolver um sistema linear 2\times 2 a partir das coordenadas.

Passo 2

Igualando coordenadas temos
\alpha(-1) + \beta(3) = 2, \qquad \alpha(1) + \beta(1) = 9.
Em forma de sistema:
\begin{cases} -\,\alpha + 3\beta = 2,\\\ \alpha + \beta = 9. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação tiramos
\alpha = 9 - \beta.
Substituindo na primeira:
- (9 - \beta) + 3\beta = 2 \quad\Longrightarrow\quad -9 + \beta + 3\beta = 2 \quad\Longrightarrow\quad 4\beta = 11 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \tfrac{11}{4}.
Logo,
\alpha = 9 - \tfrac{11}{4} = \tfrac{36}{4} - \tfrac{11}{4} = \tfrac{25}{4}.

Resposta

\alpha = \tfrac{25}{4},\\ \beta = \tfrac{11}{4}.
Portanto,
(2,9) = \tfrac{25}{4}\,(-1,1) \;+\; \tfrac{11}{4}\,(3,1).

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