Mostre que G=\{(x, \alpha x): x \in \mathbb{R}\}, onde \alpha \in \mathbb{R}, é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define \,G=\{(x,\alpha x)\mid x\in\mathbb{R}\}
e pede para mostrar que G é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.
Para isso, vamos verificar os três critérios clássicos:
  1. \mathbf{0}\in G,
  2. fechamento em soma,
  3. fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor zero está em G.
Se escolhermos x=0, obtemos
(0,\alpha\cdot 0)=(0,0),
que é justamente o vetor nulo de \mathbb{R}^2.
Logo, \mathbf{0}\in G.

Passo 3

Verificar fechamento em soma.
Sejam
u=(x_1,\alpha x_1)\in G \quad\text{e}\quad v=(x_2,\alpha x_2)\in G.
Então
u+v = (x_1 + x_2,\;\alpha x_1 + \alpha x_2) = (x_1 + x_2,\;\alpha(x_1 + x_2)).
Como (x_1+x_2)\in\mathbb{R}, a soma u+v tem a forma (x,\alpha x) e portanto pertence a G.

Passo 4

Verificar fechamento em multiplicação por escalar.
Para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e qualquer vetor
u=(x,\alpha x)\in G,
temos
c\,u = (c x,\;c\,\alpha x) = (c x,\;\alpha\,(c x)),
novamente da forma (x',\alpha x') com x'=c x\in\mathbb{R}.
Logo c\,u\in G.

Passo 5

Como G contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que G é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

Resposta

G é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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