Quais dos seguintes conjuntos sāo subespaços vetoriais?
(b) O conjunto Y \subset \mathbb{R}^{3} formado pelos vetores v=(x, y, z) tais que x y=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto Y \subset \mathbb{R}^{3} dado por \displaystyle Y=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x\,y=0\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para ser subespaço precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero está em Y.
  2. Y é fechado sob soma de vetores.
  3. Y é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a Y. Como
0\cdot 0 = 0,
temos (0,0,0)\in Y. Portanto a primeira propriedade vale.

Passo 3

Testamos a clausura sob soma. Considere \displaystyle u=(1,0,0) e \displaystyle v=(0,1,0).
Ambos satisfazem x\,y=0, logo u\in Y e v\in Y. Mas
u+v = (1,0,0)+(0,1,0) = (1,1,0),
e nesse vetor 1\cdot 1 = 1\neq 0, logo u+v\notin Y. Isso mostra que Y não é fechado sob soma.

Passo 4

Como falha a clausura sob soma, Y não pode ser subespaço vetorial, independentemente da clausura sob escalar.

Resposta

Y não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados