Quais dos seguintes conjuntos sāo subespaços vetoriais?
(b) O conjunto
formado pelos vetores
tais que
.
(b) O conjunto
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
dado por
é um subespaço vetorial de . Para ser subespaço precisamos verificar três propriedades:
é um subespaço vetorial de
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Como
temos
. Portanto a primeira propriedade vale.
Passo 3
Testamos a clausura sob soma. Considere
e
.
Ambos satisfazem , logo
e
. Mas
Ambos satisfazem
e nesse vetor
, logo
. Isso mostra que
não é fechado sob soma.
Passo 4
Como falha a clausura sob soma,
não pode ser subespaço vetorial, independentemente da clausura sob escalar.