Dados dois vetores nāo colineares no plano u e v, sempre é possível escrever qualquer vetor do plano, de maneira única como combinaçāo linear de u e v, ou seja, existem números \alpha e \beta tais que w=\alpha u+\beta v. Responda os itens abaixo:
(b) Seja E=F_{1} \oplus F_{2}, onde F_{1} e F_{2} sāo subespaços vetoriais de E. Se \mathcal{B}_{1} é uma base de F_{1} e \mathcal{B}_{2} é uma base de F_{2}, prove que \mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2} é uma base de E.

Passo 1

O enunciado diz que E=F_{1}\oplus F_{2}, isto é,
  1. F_{1}+F_{2}=E (todo vetor de E é soma de um vetor de F_{1} com um de F_{2}),
  2. F_{1}\cap F_{2}=\{0\}.
    Além disso, \mathcal{B}_{1} é base de F_{1} e \mathcal{B}_{2} é base de F_{2}. Precisamos provar que \mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2} é base de E, ou seja, que ela gera E e é linearmente independente.

Passo 2

Mostramos primeiro que \mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2} gera E.
Como E=F_{1}+F_{2}, dado qualquer w\in E existe u\in F_{1} e v\in F_{2} tais que
w = u + v.
Mas u é combinação linear de vetores de \mathcal{B}_{1} e v é combinação linear de vetores de \mathcal{B}_{2}. Logo w é combinação linear de vetores de \mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}. Portanto
\Span(\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}) = E.

Passo 3

Agora provamos que \mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2} é linearmente independente.
Suponha uma combinação linear nula:
\sum_{b\in\mathcal{B}_{1}} \alpha_b\,b \;+\;\sum_{c\in\mathcal{B}_{2}} \beta_c\,c \;=\;0.
Defina
u = \sum_{b\in\mathcal{B}_{1}} \alpha_b\,b\;\in F_{1}, \quad v = \sum_{c\in\mathcal{B}_{2}} \beta_c\,c\;\in F_{2}.
Então u+v=0, ou seja, u = -v. Como u\in F_{1} e -v\in F_{2}, segue que u\in F_{1}\cap F_{2}. Mas F_{1}\cap F_{2}=\{0\}, logo u=0 e v=0.
Como \mathcal{B}_{1} é base de F_{1}, a combinação que dá u=0 implica todos \alpha_b=0. Analogamente, todos \beta_c=0. Assim a união é linearmente independente.

Resposta

\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2} é base de E.

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