Dados dois vetores nāo colineares no plano
e
, sempre é possível escrever qualquer vetor do plano, de maneira única como combinaçāo linear de
e
, ou seja, existem números
e
tais que
. Responda os itens abaixo:
(b) Seja
, onde
e
sāo subespaços vetoriais de
. Se
é uma base de
e
é uma base de
, prove que
é uma base de
.
(b) Seja
Passo 1
O enunciado diz que
, isto é,
-
(todo vetor de é soma de um vetor de com um de ), -
.
Além disso,é base de e é base de . Precisamos provar que é base de , ou seja, que ela gera e é linearmente independente.
Passo 2
Mostramos primeiro que
gera
.
Como , dado qualquer
existe
e
tais que
Como
Mas
é combinação linear de vetores de
e
é combinação linear de vetores de
. Logo
é combinação linear de vetores de
. Portanto
Passo 3
Agora provamos que
é linearmente independente.
Suponha uma combinação linear nula:
Suponha uma combinação linear nula:
Defina
Então
, ou seja,
. Como
e
, segue que
. Mas
, logo
e
.
Como é base de
, a combinação que dá
implica todos
. Analogamente, todos
. Assim a união é linearmente independente.
Como