EXEMPLOS:
- Considere
com a métrica usual e
, com
. Nessas condições, mostre que os conjuntos
e
são fechados em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que em
com a métrica usual os intervalos
,
e
são fechados. Em espaços métricos, um conjunto é fechado se o seu complemento é aberto. Vamos usar essa definição e o fato de que todo intervalo aberto em
é aberto na métrica usual.
Passo 2
Considere o conjunto
. O seu complemento em
é
Sabemos que
e
são intervalos abertos, logo são abertos em
. Como a união de abertos é aberta,
é aberto. Portanto
é fechado.
Passo 3
Considere agora o conjunto
. Seu complemento é
O intervalo
é aberto em
, logo o complemento é aberto e, assim,
é fechado.
Passo 4
Finalmente, para
temos
que também é um intervalo aberto em
. Daí
é fechado.
Resposta
Os conjuntos
,
e
são fechados em
.