EXEMPLOS:
  1. Considere \mathbb{R} com a métrica usual e a, b \in \mathbb{R}, com a<b. Nessas condições, mostre que os conjuntos [a, b],[a,+\infty) e (-\infty, a] são fechados em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em \mathbb{R} com a métrica usual os intervalos [a,b], [a,+\infty) e (-\infty,a] são fechados. Em espaços métricos, um conjunto é fechado se o seu complemento é aberto. Vamos usar essa definição e o fato de que todo intervalo aberto em \mathbb{R} é aberto na métrica usual.

Passo 2

Considere o conjunto [a,b]. O seu complemento em \mathbb{R} é
\mathbb{R}\setminus [a,b]=(-\infty,a)\,\cup\,(b,\infty).
Sabemos que (-\infty,a) e (b,\infty) são intervalos abertos, logo são abertos em \mathbb{R}. Como a união de abertos é aberta, \mathbb{R}\setminus [a,b] é aberto. Portanto [a,b] é fechado.

Passo 3

Considere agora o conjunto [a,+\infty). Seu complemento é
\mathbb{R}\setminus [a,+\infty)=(-\infty,a).
O intervalo (-\infty,a) é aberto em \mathbb{R}, logo o complemento é aberto e, assim, [a,+\infty) é fechado.

Passo 4

Finalmente, para (-\infty,a] temos
\mathbb{R}\setminus (-\infty,a]=(a,\infty),
que também é um intervalo aberto em \mathbb{R}. Daí (-\infty,a] é fechado.

Resposta

Os conjuntos [a,b], [a,+\infty) e (-\infty,a] são fechados em \mathbb{R}.

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