Dados dois vetores não colineares no plano u e v, sempre é possível escrever qualquer vetor w desse plano, de maneira única como combinação linear de u e v, ou seja, existem números reais \alpha e \beta tais que w=\alpha u+\beta v. Responda os itens abaixo:
No triângulo OAB os pontos M e N do lado OA são tais que \overline{O M}=\overline{M N}=\overline{N A} (as medidas dos segmentos são iguais) e P é o ponto médio do segmento B N. Sendo u=\overrightarrow{O A} e v=\overrightarrow{O B}, escreva o vetor \overrightarrow{O P} como combinação linear de u e v.

Passo 1

O enunciado descreve o triângulo OAB e define
  • u = \overrightarrow{OA},
  • v = \overrightarrow{OB}.
    Em OA marcamos M e N de modo que
OM = MN = NA,
ou seja, M está a um terço e N a dois terços de OA.
O ponto P é o ponto médio de BN.
Queremos escrever \overrightarrow{OP} como combinação linear de u e v.

Passo 2

Como N divide o segmento OA na razão 2:1 (contando de O para A), temos
ON = \tfrac{2}{3}\,OA = \tfrac{2}{3}\,u.

Passo 3

Por definição de ponto médio,
\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{ON}}{2} = \frac{v + \overrightarrow{ON}}{2}.

Passo 4

Substituindo \overrightarrow{ON} = \tfrac{2}{3}\,u em \overrightarrow{OP},
\overrightarrow{OP} = \frac{v + \tfrac{2}{3}\,u}{2} = \frac{1}{2}\,v + \frac{1}{2}\,\frac{2}{3}\,u = \frac{1}{2}\,v + \frac{1}{3}\,u.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{OP} = \tfrac{1}{3}\,u + \tfrac{1}{2}\,v

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