Verifique se w=(6,6,-1) pode ser escrito como combinação linear dos vetores u=(2,0,-1) e v=(0,3,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \(w=(6,6,-1)) está no span dos vetores \(u=(2,0,-1)) e \(v=(0,3,1)), ou seja, se existem escalares \(a) e \(b) tais que
a\,u + b\,v = w.
O conteúdo é combinação linear e vamos montar e resolver um sistema linear para \(a) e \(b).

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos
a\,(2,0,-1) + b\,(0,3,1) = (6,6,-1).

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} 2a + 0b = 6,\\\\ 0a + 3b = 6,\\\\ -\,a + b = -1. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo:
  • Da primeira equação 2a=6 segue a=3.
  • Da segunda 3b=6 segue b=2.
  • Na terceira, substituindo a=3 e b=2 temos -3+2=-1, que confirma consistência.

Resposta

Sim. Existe solução \(a=3) e \(b=2), portanto
w = 3\,u + 2\,v.

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