Dados os espaços métricos
e
, seja
definida por
. Mostre que
é contínua no ponto
se, e somente se,
é continua no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a aplicação de avaliação
, definida por
, é contínua em
se, e somente se, a função
é contínua em
. O conteúdo principal é continuidade em espaços métricos, usando a métrica sup em
e a métrica usual em
, e a métrica produto em
.
Passo 2
Primeiro, suponha que
seja contínua em
. Então, para todo
, existe
tal que se
então
Em particular, tomando sempre
, a condição
vale, e daí
$$d_N\bigl(f_0(x),f_0(x_0)\bigr)<\varepsilon\quadsempre qued_M(x,x_0)<\delta.
$$
Isto mostra que é contínua em
.
Isto mostra que
Passo 3
Agora, suponha que
seja contínua em
. Dado
, pela continuidade de
existe
tal que
$$d_M(x,x_0)<\delta_1\implies d_N\bigl(f_0(x),f_0(x_0)\bigr)<\tfrac{\varepsilon}{2}.
Agora, tomando
, sempre que
$$d_{\mathscr B}(f,f_0)<\delta\quade\quad d_M(x,x_0)<\delta,
$$
Isso prova que é contínua em
.
Isso prova que
Resposta
Portanto, mostramos que
é contínua em
se, e somente se,
é contínua em
.