Dados os espaços métricos M e N, seja v: mathscrB(M ; N) times M N definida por v(f, x)=f(x). Mostre que v é contínua no ponto (f0, x0) in mathscrB(M, N) times M se, e somente se, f0: M N é continua no ponto x0 in M.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a aplicação de avaliação
v:mathscrB(M,N)times Mto N, definida por v(f,x)=f(x), é contínua em (f0,x0) se, e somente se, a função f0:Mto N é contínua em x0. O conteúdo principal é continuidade em espaços métricos, usando a métrica sup em mathscrB(M,N) e a métrica usual em M, e a métrica produto em mathscrB(M,N)times M.

Passo 2

Primeiro, suponha que v seja contínua em (f0,x0). Então, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que se
dmathscr B(f,f0)
então
dNl(v(f,x),v(f0,x0)r)=dNl(f(x),f0(x0)r)
Em particular, tomando sempre f=f0, a condição dmathscr B(f0,f0)=0 vale, e daí
$$d_N\bigl(f_0(x),f_0(x_0)\bigr)<\varepsilon\quadsempre qued_M(x,x_0)<\delta.
$$
Isto mostra que dNl(f0(x),f0(x0)r) é contínua em f0.

Passo 3

Agora, suponha que f0 seja contínua em x0. Dado varepsilon>0, pela continuidade de f0 existe de0 tal que
$$d_M(x,x_0)<\delta_1\implies d_N\bigl(f_0(x),f_0(x_0)\bigr)<\tfrac{\varepsilon}{2}.
dM(x,x0)éãd_{\mathscr B}(f,f_0)=\sup_{y\in M}d_N\bigl(f(y),f_0(y)\bigr)<\delta_2
deád_N\bigl(f(x),f_0(x)\bigr)\le d_{\mathscr B}(f,f_0)<\tfrac{\varepsilon}{2}\quadpara todox.$$
Agora, tomando f, sempre que
$$d_{\mathscr B}(f,f_0)<\delta\quade\quad d_M(x,x_0)<\delta,
dmathscr B(f,f0)=supyin MdNl(f(y),f0(y)r)d_N\bigl(v(f,x),v(f_0,x_0)\bigr)=d_N\bigl(f(x),f_0(x_0)\bigr)\le d_N\bigl(f(x),f_0(x)\bigr)+d_N\bigl(f_0(x),f_0(x_0)\bigr)<\tfrac{\varepsilon}{2}+\tfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
$$
Isso prova que dNl(f(x),f0(x)r)<= dmathscr B(f,f0) é contínua em de.

Resposta

Portanto, mostramos que v é contínua em (f0,x0) se, e somente se, f0 é contínua em x0.

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