Seja
contínua, definida num subconjunto
. Suponha que
é limitado e não-vazio. Sejam
e
. Prove que se,
e
então
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de uma função contínua
e do conjunto
. Sabemos que
não está vazio e é limitado, daí definimos
e
. Queremos provar que
e
. Para isso, vamos usar dois conteúdos: (i) a caracterização de ínfimo e supremo via sequências e (ii) continuidade, que garante que se uma sequência
, então
.
Passo 2
Como
é o ínfimo de
, por definição existe uma sequência
tal que
. Uma forma de ver isso é: para cada
podemos escolher
com
. Como cada
, temos uma sequência de valores positivos.
Passo 3
Pela continuidade de
em
, vale
Como
Passo 4
Analogamente, como
, existe sequência
com
. Aplicando continuidade em
obtemos
e como
Resposta
Portanto,
e
.