Seja f: X R contínua, definida num subconjunto X subset R. Suponha que p=x in X ; f(x)>0 é limitado e não-vazio. Sejam a=inf P e b=sup P. Prove que se, a in X e b in X então f(a) >= 0 e f(b) >= 0.

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de uma função contínua f: X R e do conjunto P = x in X mid f(x) > 0. Sabemos que P não está vazio e é limitado, daí definimos a = inf P e b = sup P. Queremos provar que f(a) >= 0 e f(b) >= 0. Para isso, vamos usar dois conteúdos: (i) a caracterização de ínfimo e supremo via sequências e (ii) continuidade, que garante que se uma sequência xn to x, então f(xn) to f(x).

Passo 2

Como a é o ínfimo de P, por definição existe uma sequência xnsubset P tal que xn to a. Uma forma de ver isso é: para cada n podemos escolher xn in P com 0 <= xn - a < tfrac1n. Como cada f(xn) > 0, temos uma sequência de valores positivos.

Passo 3

Pela continuidade de f em a, vale
limntoinfty f(xn) = f(a)
Como f(xn) > 0 para todo n, o limite f(a) não pode ser negativo. Logo f(a) >= 0.

Passo 4

Analogamente, como b = sup P, existe sequência ynsubset P com yn to b. Aplicando continuidade em b obtemos
limntoinfty f(yn) = f(b),
e como f(yn) > 0, segue f(b) >= 0.

Resposta

Portanto, f(a) >= 0 e f(b) >= 0.

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