Dados: F_{x}, F_{y}, x, y; incógnitas: (a) \vec{\tau}= ? e (b) \theta= ?
Solução:
(a) \vec{\tau}=(x \hat{i}+y \hat{j}) \times\left(F_{x} \hat{i}+F_{y} \hat{j}\right) \Rightarrow \vec{\tau}=\left(\boldsymbol{x} \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{y}}-\boldsymbol{y} \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}}\right) \hat{\boldsymbol{k}};

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá\n
  • Dados (conhecidos): F_{x},\;F_{y},\;x,\;y. Esses são componentes escalares.
  • Incógnitas:
    (a) o torque vetorial \vec{\tau} aplicado por uma força \vec{F} em relação à origem;
    (b) o ângulo \theta entre o vetor posição \vec{r} (cujo ponto de aplicação tem coordenadas x,y) e a força \vec{F}.
  • Observação importante: os vetores relevantes, escritos em componentes, são (pegando os dados do enunciado) \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j} e \vec{F}=F_{x}\hat{i}+F_{y}\hat{j}. A resolução começa a partir dessas definições.

Passo 2

Definir claramente os vetores e lembrar as fórmulas que usaremos\n
  • Vetor posição:
\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}.
  • Força:
\vec{F} = F_{x}\hat{i} + F_{y}\hat{j}.
  • Fórmulas úteis (lembrando e explicando):
    • Produto vetorial (em 3D) dá um vetor perpendicular ao plano dos dois vetores; para dois vetores no plano xy o produto vetorial aponta ao longo de \hat{k}. O produto vetorial é calculado pela determinante
    \vec{A}\times\vec{B}=\det\begin{pmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\ A_x & A_y & A_z\\\ B_x & B_y & B_z\end{pmatrix}.
    • Produto escalar dá a projeção (relaciona-se ao cosseno do ângulo):
    \vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\theta.
    • Magnitude de um vetor em componentes:
    |\vec{A}|=\sqrt{A_x^{2}+A_y^{2}+A_z^{2}}.Vou usar essas fórmulas aplicadas a \vec{r} e \vec{F}.

Passo 3

Calcular o torque vetorial \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F} usando determinante\n
  • Colocando as componentes em 3D (com componente z=0 para ambos, pois estão no plano xy):
\vec{\tau}=\det\begin{pmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\ x & y & 0\\\ F_{x} & F_{y} & 0\end{pmatrix}.
  • Desenvolvendo a determinante (expansão pela terceira coluna ou lembrando que os termos com z são zero), só sobra a componente em \hat{k}:
\vec{\tau}=(xF_{y}-yF_{x})\hat{k}.
  • Interpretação física rápida: o sinal de xF_{y}-yF_{x} indica o sentido (para cima em \hat{k} ou para baixo em -\hat{k}) pelo “right-hand rule”; o módulo |xF_{y}-yF_{x}| é a intensidade do momento de força.

Passo 4

Explicar magnitude do torque e relação com o seno do ângulo\n
  • A magnitude do torque pode ser escrita usando a fórmula do módulo do produto vetorial:
|\vec{\tau}|=|\vec{r}\times\vec{F}|=|\vec{r}|\,|\vec{F}|\,|\sin\theta|.
  • Neste caso específico, calculando a componente \hat{k}:
|\vec{\tau}|=|xF_{y}-yF_{x}|.
  • Portanto há duas maneiras de relacionar o determinante ao ângulo: pela componente z (acima) e pela identidade com rF\sin\theta.

Passo 5

Calcular as magnitudes de \vec{r} e \vec{F} (passo necessário para achar \theta)\n
  • Magnitude de \vec{r}:
|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Magnitude de \vec{F}:
|\vec{F}|=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}.

Passo 6

Encontrar \theta usando o produto escalar (método recomendado por ser monovalente)\n
  • Produto escalar entre \vec{r} e \vec{F}:
\vec{r}\cdot\vec{F}=xF_{x}+yF_{y}.
  • Relação com o cosseno do ângulo:
\vec{r}\cdot\vec{F}=|\vec{r}|\,|\vec{F}|\,\cos\theta.
  • Isolando \theta e escrevendo a fórmula final para o ângulo entre os vetores:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{xF_{x}+yF_{y}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}\right).
  • Observação didática: esse método fornece \theta no intervalo [0,\pi], que é a definição padrão do ângulo entre dois vetores; evita ambiguidades de sinal que podem aparecer ao usar arco-seno.

Passo 7

Mostrar a alternativa via seno (útil para verificar ou obter sentido) e quando usá‑la\n
  • Usando a magnitude do produto vetorial e a relação com seno:
\sin\theta=\dfrac{xF_{y}-yF_{x}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}.
  • Então alternativamente:
\theta=\arcsin\!\left(\dfrac{xF_{y}-yF_{x}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}\right),
porém é preciso ter cuidado: \arcsin retorna valores em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], então pode ser necessário ajustar o quadrante (usar o sinal do produto escalar para decidir se \theta deve ser \pi- valor, etc.). Por isso o uso de \operatorname{arccos} é geralmente mais direto para obter o ângulo entre vetores.

Passo 8

Resumo prático e dica para a prova\n
  • Para (a) calcule diretamente o determinante do produto vetorial; o resultado é a componente em \hat{k}.
  • Para (b) use o produto escalar para obter o cosseno e aplique \operatorname{arccos}; se quiser confirmar, compare com a relação do seno obtida pelo produto vetorial.
  • Se precisa de um valor numérico, primeiro calcule xF_{x}+yF_{y}, \sqrt{x^{2}+y^{2}} e \sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}} e então aplique a fórmula do \operatorname{arccos}.

Resposta

\vec{\tau}=(xF_{y}-yF_{x})\hat{k}
\displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{xF_{x}+yF_{y}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}\right)

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