Dados (conhecidos): F_{x},\;F_{y},\;x,\;y. Esses são componentes escalares.
Incógnitas:
(a) o torque vetorial \vec{\tau} aplicado por uma força \vec{F} em relação à origem;
(b) o ângulo \theta entre o vetor posição \vec{r} (cujo ponto de aplicação tem coordenadas x,y) e a força \vec{F}.
Observação importante: os vetores relevantes, escritos em componentes, são (pegando os dados do enunciado) \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j} e \vec{F}=F_{x}\hat{i}+F_{y}\hat{j}. A resolução começa a partir dessas definições.
Passo 2
Definir claramente os vetores e lembrar as fórmulas que usaremos\n
Vetor posição:
\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}.
Força:
\vec{F} = F_{x}\hat{i} + F_{y}\hat{j}.
Fórmulas úteis (lembrando e explicando):
Produto vetorial (em 3D) dá um vetor perpendicular ao plano dos dois vetores; para dois vetores no plano xy o produto vetorial aponta ao longo de \hat{k}. O produto vetorial é calculado pela determinante
|\vec{A}|=\sqrt{A_x^{2}+A_y^{2}+A_z^{2}}.Vou usar essas fórmulas aplicadas a \vec{r} e \vec{F}.
Passo 3
Calcular o torque vetorial \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F} usando determinante\n
Colocando as componentes em 3D (com componente z=0 para ambos, pois estão no plano xy):
\vec{\tau}=\det\begin{pmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\ x & y & 0\\\ F_{x} & F_{y} & 0\end{pmatrix}.
Desenvolvendo a determinante (expansão pela terceira coluna ou lembrando que os termos com z são zero), só sobra a componente em \hat{k}:
\vec{\tau}=(xF_{y}-yF_{x})\hat{k}.
Interpretação física rápida: o sinal de xF_{y}-yF_{x} indica o sentido (para cima em \hat{k} ou para baixo em -\hat{k}) pelo “right-hand rule”; o módulo |xF_{y}-yF_{x}| é a intensidade do momento de força.
Passo 4
Explicar magnitude do torque e relação com o seno do ângulo\n
A magnitude do torque pode ser escrita usando a fórmula do módulo do produto vetorial:
Observação didática: esse método fornece \theta no intervalo [0,\pi], que é a definição padrão do ângulo entre dois vetores; evita ambiguidades de sinal que podem aparecer ao usar arco-seno.
Passo 7
Mostrar a alternativa via seno (útil para verificar ou obter sentido) e quando usá‑la\n
Usando a magnitude do produto vetorial e a relação com seno:
porém é preciso ter cuidado: \arcsin retorna valores em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], então pode ser necessário ajustar o quadrante (usar o sinal do produto escalar para decidir se \theta deve ser \pi- valor, etc.). Por isso o uso de \operatorname{arccos} é geralmente mais direto para obter o ângulo entre vetores.
Passo 8
Resumo prático e dica para a prova\n
Para (a) calcule diretamente o determinante do produto vetorial; o resultado é a componente em \hat{k}.
Para (b) use o produto escalar para obter o cosseno e aplique \operatorname{arccos}; se quiser confirmar, compare com a relação do seno obtida pelo produto vetorial.
Se precisa de um valor numérico, primeiro calcule xF_{x}+yF_{y}, \sqrt{x^{2}+y^{2}} e \sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}} e então aplique a fórmula do \operatorname{arccos}.