Questão 4 (1,5 pontos): Um satélite de massa m=2000 \mathrm{~kg} está em uma órbita circular em torno da Terra a uma distância de 300 km acima da superficie da Terra. Nessa órbita circular, calcule: (a) a velocidade v do satélite; (b) a energia cinética K do satélite e (c) a energia mecânica total E do satélite.

Passo 1

O enunciado dá um satélite de massa m=2000\\ \mathrm{kg} em órbita circular a 300\\ \mathrm{km} acima da superfície da Terra. Pede-se:
(a) a velocidade orbital v;
(b) a energia cinética K;
(c) a energia mecânica total E.
Informações que vamos usar (valores padrão):
  • Raio médio da Terra R_{\rm T}=6371\\ \mathrm{km}.
  • Usarei a constante gravitacional universal G=6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}} e a massa da Terra M=5{,}972\times10^{24}\\ \mathrm{kg}. O produto GM é frequentemente usado e vale aproximadamente \mu=GM=3{,}986\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}.
Dados numéricos extraídos / convertidos:
  • Altitude h=300\\ \mathrm{km}=3{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{m}.
  • Raio da órbita r=R_{\rm T}+h. Vou calcular r em metros no próximo passo.

Passo 2

Calcular o raio da órbita r.
Converter R_{\rm T} para metros e somar a altitude:
R_{\rm T}=6371\\ \mathrm{km}=6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m},
h=300\\ \mathrm{km}=3{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{m},
r=R_{\rm T}+h=6{,}371\times10^{6}+3{,}00\times10^{5}=6{,}671\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Encontrar a velocidade orbital v.
Ideia física e fórmula: para uma órbita circular a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária. Igualando as duas:
\frac{G M m}{r^{2}}= \frac{m v^{2}}{r}.
Aqui:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa da Terra,
  • m é a massa do satélite,
  • r é o raio da órbita,
  • v é a velocidade orbital.
Simplificando (cancela m e um fator r):
v^{2}=\frac{G M}{r}=\frac{\mu}{r},
v=\sqrt{\frac{\mu}{r}}.
Substituindo \mu=3{,}986\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}} e r=6{,}671\times10^{6}\\ \mathrm{m}:
\frac{\mu}{r}=\frac{3{,}986\times10^{14}}{6{,}671\times10^{6}}\approx5{,}98\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
v=\sqrt{5{,}98\times10^{7}}\approx7{,}73\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: a fórmula v=\sqrt{GM/r} é padrão para órbitas circulares. Significa que quanto mais próxima da Terra (menor r), maior a velocidade necessária para manter a órbita.

Passo 4

Calcular a energia cinética K.
Definição: K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
Como já temos v^{2}=\dfrac{GM}{r}, podemos escrever
K=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m \cdot\frac{GM}{r}=\frac{GMm}{2r}.
Substituindo os valores ( GM=3{,}986\times10^{14}, m=2000\\ \mathrm{kg}, r=6{,}671\times10^{6}\\ \mathrm{m}):
K=\frac{3{,}986\times10^{14}\times2000}{2\times6{,}671\times10^{6}} =\frac{7{,}972\times10^{17}}{1{,}3342\times10^{7}} \approx5{,}98\times10^{10}\\ \mathrm{J}.
Observação prática: também se obtém o mesmo número fazendo K=\tfrac{1}{2}m v^{2} com v calculado no passo anterior.

Passo 5

Calcular a energia mecânica total E.
Energia potencial gravitacional (referência U(\infty)=0):
U(r)=-\frac{G M m}{r}.
Energia mecânica total:
E=K+U=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}.
Portanto, para órbita circular:
E=-K.
Substituindo os números (já calculamos K\approx5{,}98\times10^{10}\\ \mathrm{J}):
E=-\frac{GMm}{2r}\approx -5{,}98\times10^{10}\\ \mathrm{J}.
Interpretação didática curta: E é negativa porque o satélite está ligado gravitacionalmente à Terra (estado ligado). A magnitude de E igual à energia cinética mostra a relação típica em órbitas circulares.

Passo 6

Resumo e verificação rápida dos resultados com unidades coerentes:
  • Velocidade em \mathrm{m/s}: valor típico de órbita baixa (alguns km/s) — nosso resultado está coerente.
  • Energias em joules: ordem de 10^{10}\\ \mathrm{J} para um satélite de 2000\\ \mathrm{kg} em órbita baixa — faz sentido.
Força-se um pouco, respira fundo: você já tem a receita para qualquer órbita circular — é só trocar h e reusar as fórmulas acima. Vai dar certo na prova!

Resposta

(a) v=7{,}73\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}
(b) K=5{,}98\times10^{10}\\ \mathrm{J}
(c) E=-5{,}98\times10^{10}\\ \mathrm{J}

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