Dados: M, m, L; incógnita: \Delta X_{m}= ?
Solução: Escolhendo a origem em \mathrm{m}, X_{C M}=\frac{L M+0 \cdot m}{M+m}. A posição de encontro dos dois é a posição do CM. Assim, \Delta X_{m}=X_{C M}-0 \Rightarrow \Delta \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{m}}=\left(\frac{\boldsymbol{M}}{\boldsymbol{M}+\boldsymbol{m}}\right) \boldsymbol{L}

Passo 1

O enunciado dá as massas M e m e a separação inicial entre elas L. Foi escolhida a origem na posição inicial da massa m, portanto as posições iniciais são:
  • posição inicial de m: x_m(0)=0,
  • posição inicial de M: x_M(0)=L.
O que se pede: calcular \Delta X_{m}, isto é, o deslocamento da massa m até o ponto de encontro entre as duas massas.

Passo 2

Conceito e justificativa física (didática e sem pular etapas).
  • Definição prática do centro de massa para duas massas pontuais: a posição do centro de massa (CM) do sistema é dada por
X_{CM}=\frac{m\,x_m+M\,x_M}{m+M},
onde x_m e x_M são as posições (coordenadas) das massas m e M, respectivamente, e m+M é a massa total do sistema. Aqui X_{CM} é uma coordenada única que representa “o centro de peso” do sistema.
  • Por que o ponto de encontro é o CM? Se o sistema não sofre forças externas (apenas interações internas entre m e M) e parte do repouso, o centro de massa não se desloca: a posição X_{CM} permanece fixa no espaço. Quando as massas se aproximam e se encontram, o ponto onde elas se tornam coincidentes tem de ser justamente a posição fixa do centro de massa (senão o CM teria que “pular”). Assim, o encontro ocorre em X_{CM} calculado com as posições iniciais.

Passo 3

Aplicar a fórmula do centro de massa com as posições iniciais que listamos no Passo 1.
Substituindo x_m(0)=0 e x_M(0)=L em
X_{CM}=\frac{m\,x_m+M\,x_M}{m+M},
obtemos
X_{CM}=\frac{m\cdot 0 + M\cdot L}{m+M}=\frac{M\,L}{m+M}.

Passo 4

Relacionar o resultado com o deslocamento de m.
A massa m parte de x_m(0)=0 e encontra M na posição X_{CM}. Logo o deslocamento de m até o encontro é
\Delta X_{m}=X_{CM}-0=X_{CM}=\frac{M\,L}{m+M}.

Passo 5

Interpretação física e checagem rápida (ajuda para lembrar na prova).
  • Caso M=m (massas iguais): \Delta X_{m}=\dfrac{M}{M+M}L=\dfrac{1}{2}L — encontram-se no ponto médio, como se espera.
  • Caso M\gg m: \Delta X_{m}\approx L — a massa leve m percorre quase toda a distância porque o centro de massa está próximo da posição de M.
  • Caso M\ll m: \Delta X_{m}\approx \dfrac{M}{m}L\ll L — a massa pesada m praticamente não se move.
Essas verificações rápidas ajudam a confiar no resultado na hora da prova.

Resposta

\displaystyle \Delta X_{m}=\frac{M}{M+m}\,L

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