Q1: Um motorista dirige um carro de pequeno porte com massa total m. O motorista por desatenção bate em um caminhão com massa M que estava parado. A colisão foi tão severa que os dois carros ficaram grudados após a colisão. Sabendo que os dois carros pararam a uma distância d após colisão em função de um asfalto com coeficiente de atrito \mu, determine a velocidade inicial da Hillux.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, bem devagarinho para ficar tudo claro.
  • Dados fornecidos:
    • Massa do carro pequeno (Hillux): \,m.
    • Massa do caminhão: \,M.
    • O caminhão estava parado antes da colisão, ou seja \,v_{\text{caminhão, antes}}=0ã.
    • A colisão é perfeitamente inelástica: os dois ficam grudados (movem-se juntos após a colisão).
    • Após a colisão os dois param depois de deslizar uma distância \,d sobre um asfalto com coeficiente de atrito cinético \,\mu.
    • A aceleração da gravidade é \,g (use \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} se for necessário numericamente).
  • O que se pede:
    • Determinar a velocidade inicial da Hillux antes da colisão, isto é \,v_0 (velocidade do carro pequeno imediatamente antes do choque).

Passo 2

Entendendo o choque (conservação do momento linear): durante a colisão, como a força externa horizontal (atrito com o chão) atua por um tempo muito maior que o tempo do choque ou pode ser desprezada durante o impacto, o momento linear total na direção horizontal é conservado no instante do choque. Portanto aplicamos conservação do momento:
\text{momento antes} = \text{momento depois}.
Antes do choque o momento total é \,m v_0 + M\cdot 0 = m v_0.
Depois do choque, como os corpos ficam juntos com velocidade comum \,v', o momento é (m+M)\,v'. Assim:
m v_0 = (m+M)\,v'.
Isolando \,v' em função de \,v_0:
v' = \frac{m}{m+M}\,v_0.
Explicação curta do porquê: o choque inelástico perde energia interna (transforma em deformação, calor etc.), por isso não usamos conservação de energia aqui — só o momento se conserva.

Passo 3

Movimento após o choque (freada por atrito): após o choque os dois corpos deslizam juntos até parar devido à força de atrito cinético. Vamos aplicar o Teorema da Energia ou o trabalho-energia.
A energia cinética imediatamente após o choque é
K = \tfrac{1}{2}(m+M)\,v'^2.
A força de atrito cinético máx é \,F_{\text{atrito}}=\mu N. Sobre uma superfície horizontal, a normal N vale o peso total, isto é N=(m+M)\,g. Logo a força de atrito é
F_{\text{atrito}}=\mu (m+M)\,g.
Essa força realiza trabalho negativo enquanto o bloco combinado desliza a distância \,d; o trabalho da força de atrito em módulo é
W_{\text{atrito}} = F_{\text{atrito}} \cdot d = \mu (m+M)\,g\,d.
Pelo teorema do trabalho e energia, essa energia dissipada é igual à energia cinética inicial do conjunto, pois no fim eles param:
\tfrac{1}{2}(m+M)\,v'^2 = \mu (m+M)\,g\,d.
Podemos simplificar cancelando (m+M) (não nulo):
\tfrac{1}{2} v'^2 = \mu g d.
Daí obtemos a velocidade comum logo após o choque:
v' = \sqrt{2\mu g d}.
Comentário didático: isto vem direto da ideia “energia cinética inicial = trabalho dissipado pelo atrito”.

Passo 4

Combinar os resultados dos passos anteriores para achar \,v_0.
Temos duas expressões para \,v':
  • da conservação do momento: \,v'=\dfrac{m}{m+M}\,v_0,
  • da energia com atrito: \,v'=\sqrt{2\mu g d}.
Igualando-as e resolvendo para \,v_0:
\frac{m}{m+M}\,v_0 = \sqrt{2\mu g d}
v_0 = \frac{m+M}{m}\,\sqrt{2\mu g d}.
Podemos escrever também como
v_0 = \left(1+\frac{M}{m}\right)\sqrt{2\mu g d}.
Explicação do resultado: a velocidade necessária antes do choque é a velocidade após o choque (aquela que levaria o conjunto a parar em d) multiplicada pelo fator (m+M)/m, que reflete que parte do impulso do carro pequeno foi “diluído” no caminhão mais pesado.

Passo 5

Checagem de unidades e observações finais:
  • Unidade: \sqrt{2\mu g d} tem unidade de velocidade (m/s), multiplicando por adimensional (m+M)/m mantém m/s — coerente.
  • Limites físicos:
    • Se M\to 0 (caminhão muito leve), então v_0\to \sqrt{2\mu g d} — faz sentido: o carro só teria que ter a velocidade correspondente à energia necessária para vencer o atrito sozinho.
    • Se M\gg m, então v_0 cresce muito — intuitivo porque é preciso muito mais velocidade para arrastar um caminhão pesado.
  • Pressupostos importantes (anote na prova):
    • A colisão é praticamente instantânea e não há troca significativa de momento com o chão durante o choque (por isso momentum se conserva).
    • Coeficiente \mu é o de atrito cinético e constante durante o deslizamento.
    • A superfície é horizontal (assim N=(m+M)g).
Força um ânimo rápido: você já tem a receita padrão para esse tipo de problema — primeiro aplicar conservação do momento no choque, depois usar trabalho-energia para o deslizamento. Anota isso na folha mental!

Resposta

v_0 = \frac{m+M}{m}\,\sqrt{2\mu g d}

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