Dados F(x, y, z)=0, tal que f(x, y), calcule implicitamente as derivadas
(c) F=z^2 * ln (x y), partial zpartial x e partial zpartial y

Passo 1

O enunciado define a superfície implícita
F(x,y,z)=z^2,ln(xy)=0
e pede para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y usando diferenciação implícita. Vamos usar o fato de que, se F(x,y,z(x,y))=0, então
Fx + Fz,partial zpartial x=0 e Fy + Fz,partial zpartial y=0

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F em relação a x, y e z, tratando z como constante ao derivar em x ou y:
Fx = z^2,ddxl[ln(xy)r] = z^2,1xy,y = z^2x
Fy = z^2,ddyl[ln(xy)r] = z^2,1xy,x = z^2y
Fz = ddzl[z^2ln(xy)r] = 2z,ln(xy)

Passo 3

Agora aplicamos as fórmulas da diferenciação implícita:
partial zpartial x = -FxFz = - z^2x 2z,ln(xy) = -z2,x,ln(xy),
partial zpartial y = -FyFz = - z^2y 2z,ln(xy) = -z2,y,ln(xy)

Resposta

partial zpartial x = -z2,x,ln(xy), partial zpartial y = -z2,y,ln(xy)

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