Determine a inclinação a reta tangente à curva de intersecção da superfície com o plano , no ponto . Determine, também, a equação da reta tangente.
Passo 1
O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva de intersecção entre a superfície
e o plano no ponto , além da equação dessa reta tangente.
Para isso, vamos ver essa intersecção como uma curva em que é função de (já que fica fixo) e depois usar derivada para achar o vetor direção do tangente.
Passo 2
Substituindo em
ficamos com a curva
Verificamos que, em ,
o que corresponde exatamente à coordenada de .
Passo 3
Para achar a inclinação do tangente, calculamos
usando a regra da cadeia numa função do tipo . Como
temos
Passo 4
Avaliando em ,
Essa é a inclinação da curva em relação ao eixo x, ou seja, a derivada que dá a componente z do vetor direção do tangente.
Passo 5
Na reta tangente,
Podemos então escrever a reta em forma paramétrica:
Em forma simétrica (ignorando o denominador zero em (y]):