Determine a inclinação a reta tangente à curva de intersecção da superfície z=12 raiz24-x^2-2 y^2 com o plano y=2, no ponto P(2,2, raiz3). Determine, também, a equação da reta tangente.

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva de intersecção entre a superfície
z = tfrac12raiz24 - x^2 - 2y^2
e o plano y=2 no ponto P(2,2,raiz3), além da equação dessa reta tangente.
Para isso, vamos ver essa intersecção como uma curva em que z é função de x (já que y fica fixo) e depois usar derivada para achar o vetor direção do tangente.

Passo 2

Substituindo y=2 em
z = tfrac12raiz24 - x^2 - 2y^2
ficamos com a curva
z(x) = tfrac12raiz24 - x^2 - 2cdot 2^2 = tfrac12raiz24 - x^2 - 8 = tfrac12raiz16 - x^2
Verificamos que, em x=2,
z(2) = tfrac12raiz16 - 2^2 = tfrac12raiz12 = raiz3,
o que corresponde exatamente à coordenada z de P.

Passo 3

Para achar a inclinação do tangente, calculamos
dzdx
usando a regra da cadeia numa função do tipo raiz16 - x^2. Como
z(x) = tfrac12(16 - x^2)^1/2,
temos
dzdx = tfrac12cdottfrac12(16 - x^2)^-1/2cdot(-2x) = -x2raiz16 - x^2

Passo 4

Avaliando em x=2,
dzdx|x=2 = -22raiz16 - 4 = -22raiz12 = -1raiz12 = -12raiz3 = -raiz36
Essa é a inclinação da curva em relação ao eixo x, ou seja, a derivada que dá a componente z do vetor direção do tangente.

Passo 5

Na reta tangente,
Podemos então escrever a reta em forma paramétrica:
Em forma simétrica (ignorando o denominador zero em (y]):

Resposta

Inclinação da reta tangente:
m = -12raiz3 = -raiz36
Equação paramétrica da reta tangente:
x = 2 + t, y = 2, z = raiz3 - tfrac12raiz3,t

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