Suponha que a função T: R^2 R, definida por T(x, y)=23 x+y, represente a temperatura em cada ponto P(x, y) do plano x y. Nesse caos, identifique:
a) As curvas de nível da função T;
b) A temperatura máxima atingida em um ponto do conjunto B=(x, y) in R^2 ; x^218+y^28 <= 1 ;
c) O ponto de B no qual a temperatura máxima é atingida.

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
T(x,y)=23x+y
que dá a temperatura no ponto (x,y) do plano, e pede:
– (a) as curvas de nível de T;
– (b) a temperatura máxima em
B=l(x,y)inR^2;|;x^218+y^28<=1r;
– (c) o ponto de B que atinge essa temperatura máxima.
O conteúdo envolve curvas de nível de funções de duas variáveis e otimização com restrição (Lagrange) em região fechada e limitada.

Passo 2

As curvas de nível de T são os conjuntos em que
T(x,y)=k,
isto é
23x+y=k
para kinR. Em cada caso obtemos uma reta
y = k - 23x

Passo 3

Para encontrar a temperatura máxima em B, observamos que T é linear e B é compacto. Assim o máximo ocorre na fronteira
x^218+y^28=1

Passo 4

Aplicamos o método de multiplicadores de Lagrange. Definimos
g(x,y)=x^218+y^28-1=0
e igualamos
nabla T = lambda,nabla g
Isto dá o sistema
23 = lambdapartial gpartial x = lambda2x18=lambdax9, 1 = lambdapartial gpartial y = lambda2y8=lambday4,
juntamente com
x^218+y^28=1

Passo 5

Das duas primeiras equações obtemos
x=6lambda, y=4lambda
Substituindo na equação da fronteira:
118l(6lambdar)^2 + 18l(4lambdar)^2 = 3618lambda^2 + 168lambda^2 = 2lambda^2 + 2lambda^2 = 4lambda^2 =1 ;Rightarrow; lambda^2=4 ;Rightarrow; lambda=pm2
Para lambda=2 vem (x,y)=(3,2) e para lambda=-2 vem (x,y)=(-3,-2).

Passo 6

Calculamos T nos dois pontos candidatos:
T(3,2)=23cdot3+2=2+2=4, T(-3,-2)=23cdot(-3)+(-2)=-2-2=-4
O maior valor é 4, no ponto (3,2).

Resposta

a) As curvas de nível são as retas
y = k - 23x, kinR
b) A temperatura máxima em B é 4.
c) Ela ocorre no ponto (3,2).

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