Suponha que a função , definida por , represente a temperatura em cada ponto do plano . Nesse caos, identifique:
a) As curvas de nível da função ;
b) A temperatura máxima atingida em um ponto do conjunto
c) O ponto de B no qual a temperatura máxima é atingida.
Passo 1
O enunciado define a função de duas variáveis
que dá a temperatura no ponto do plano, e pede:
– (a) as curvas de nível de ;
– (b) a temperatura máxima em
– (c) o ponto de B que atinge essa temperatura máxima.
O conteúdo envolve curvas de nível de funções de duas variáveis e otimização com restrição (Lagrange) em região fechada e limitada.
Passo 2
As curvas de nível de T são os conjuntos em que
T(x,y)=k,
isto é
23x+y=k
para kinR. Em cada caso obtemos uma reta
y = k - 23x
Passo 3
Para encontrar a temperatura máxima em B, observamos que T é linear e B é compacto. Assim o máximo ocorre na fronteira
x^218+y^28=1
Passo 4
Aplicamos o método de multiplicadores de Lagrange. Definimos
g(x,y)=x^218+y^28-1=0
e igualamos
nabla T = lambda,nabla g
Isto dá o sistema
23 = lambdapartial gpartial x = lambda2x18=lambdax9, 1 = lambdapartial gpartial y = lambda2y8=lambday4,