Os dados de fadiga para um ferro fundido dúctil são dados a seguir:
Amplitude da Tensão (MPa) Ciclos até a Fratura
248 1 \times 10^{5}
236 3 \times 10^{5}
224 1 \times 10^{6}
213 3 \times 10^{6}
201 1 \times 10^{7}
193 3 \times 10^{7}
193 1 \times 10^{8}
193 3 \times 10^{8}
(a) Faça um gráfico de Tensão X N (amplitude da tensão em função do logaritmo do número de ciclos até a fratura) usando os dados.
(b) Qual é o limite de resistência à fadiga para esta liga?
(c) Determine as vidas em fadiga para amplitudes de tensão de 230 MPa ( 33.500 psi ) e 175 MPa ( 25.000 psi ).
(d) Estime as resistências à fadiga da liga em 2 \times 10^{5} e 6 \times 10^{6} ciclos.

Passo 1

O enunciado pede 4 coisas usando os dados da tabela: (a) fazer um gráfico de amplitude da tensão em função do logaritmo do número de ciclos até fratura; (b) determinar o limite de resistência à fadiga da liga; (c) determinar as vidas em fadiga para amplitudes \,230\\ \text{MPa}\, e \,175\\ \text{MPa}\,; (d) estimar as resistências à fadiga para 2\times10^{5} e 6\times10^{6} ciclos.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{c|c} \text{Amplitude da tensão (MPa)} & \text{Ciclos até fratura }N\\hline 248 & 1\times10^{5}\\\\ 236 & 3\times10^{5}\\\\ 224 & 1\times10^{6}\\\\ 213 & 3\times10^{6}\\\\ 201 & 1\times10^{7}\\\\ 193 & 3\times10^{7}\\\\ 193 & 1\times10^{8}\\\\ 193 & 3\times10^{8} \end{array}ãé

Passo 2

Vou explicar a ideia que vamos usar (sem pular etapas): a prática usual para curvas S–N é representar a amplitude da tensão S em função do logaritmo do número de ciclos \log_{10}N. Observando os dados, a tensão diminui com N até um ponto em que aparece um platô em S=193\\ \text{MPa} para N\ge 3\times10^{7} — esse platô é o candidato a limite de fadiga (endurance limit) da liga. Para ajustar os dados numéricos antes do platô, vamos assumir um modelo linear entre S e \log_{10}N:
S = m\cdot \log_{10}N + c,
onde m é a inclinação (em MPa por unidade de \log_{10}N) e c é a ordenada na origem. Esse modelo é o mais simples e apropriado quando pedem “Tensão X N (amplitude em função do logaritmo de N)”. Vou ajustar m e c pelos pontos até N=1\times10^{7} (antes do platô), porque os pontos após esse N estão na região de endurance e não seguem a mesma reta decrescente.

Passo 3

Calculo \log_{10}N dos cinco pontos que usarei no ajuste (peguei N na tabela):
\begin{array}{c|c|c} \text{Índice} & N & x=\log_{10}N \\hline 1 & 1\times10^{5} & 5{,}000000\\\\ 2 & 3\times10^{5} & 5{,}477121255\\\\ 3 & 1\times10^{6} & 6{,}000000\\\\ 4 & 3\times10^{6} & 6{,}477121255\\\\ 5 & 1\times10^{7} & 7{,}000000 \end{array}Í
e as tensões correspondentes são S=[248,\;236,\;224,\;213,\;201]\\ \text{MPa}.

Passo 4

Vou ajustar a reta S = m x + c por mínimos quadrados (fórmulas clássicas). As fórmulas para m e c com n pontos (x_i,S_i) são:
m=\frac{n\sum x_iS_i - (\sum x_i)(\sum S_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \qquad c=\frac{\sum S_i - m\sum x_i}{n}.
Agora calculo os somatórios necessários (usei os cinco primeiros pontos listados):
\begin{aligned} n&=5,\\\ \sum x_i &\approx 29{,}95424251,\\\ \sum S_i &=248+236+224+213+201=1122,\\\ \sum x_i^2 &\approx 181{,}951964,\\\ \sum x_iS_i &\approx 6663{,}227443. \end{aligned}

Passo 5

Substituindo nas fórmulas:
\begin{aligned} m &= \frac{5\cdot 6663{,}227443 - 29{,}95424251\cdot1122} {5\cdot181{,}951964 - (29{,}95424251)^2} \approx\frac{-292{,}52288122}{12{,}503175}\approx -23{,}396\\ \text{MPa/dec},\\[6pt] c &=\frac{1122 - (-23{,}396)\cdot 29{,}95424251}{5}\approx 364{,}562\\ \text{MPa}. \end{aligned}
Portanto a reta ajustada é
\boxed{\,S(\log_{10}N) \approx -23{,}396\;\log_{10}N + 364{,}562\,}.
Fiz as contas passo a passo para você poder refazer à mão na prova se precisar.]

Passo 6

(a) Sobre o gráfico: para desenhar o gráfico pedido (Tensão X \log_{10}N) faça o seguinte (peguei os pontos da tabela):
  • No eixo horizontal coloque x=\log_{10}N e marque pelo menos de 5{,}0 até 8{,}0 (porque temos N até 3\times10^{8}).
  • Pontos a plotar (x,S):
    \,(5{,}000,\;248),\;(5{,}4771,\;236),\;(6{,}000,\;224),\;(6{,}4771,\;213),\;(7{,}000,\;201),\;(7{,}4771,\;193),\;(8{,}000,\;193),\;(8{,}4771,\;193)\, (os três últimos são os pontos do platô e os peguei da tabela).
  • Trace a reta ajustada S=-23{,}396\log_{10}N+364{,}562 passando perto dos cinco primeiros pontos.
  • Desenhe uma linha horizontal em S=193\\ \text{MPa} para mostrar o platô / limite de fadiga observado.
    Isso responde (a): o gráfico é esses pontos com a reta ajustada e a linha horizontal em 193\\ \text{MPa}.

Passo 7

(b) O limite de resistência à fadiga (endurance limit) é o valor no platô observado na tabela: \boxed{193\\ \text{MPa}}. Expliquei isso porque os dados da tabela mostram S=193\\ \text{MPa} para N=3\times10^{7},\\\ 1\times10^{8},\\\ 3\times10^{8} — isso indica que tensões abaixo desse valor tendem a não causar fratura (vida praticamente infinita) para essa liga.

Passo 8

(c) Agora as vidas para as duas amplitudes:
  • Para \,S=230\\ \text{MPa}\, (maior que o limite de fadiga): invertemos a reta para obter \log_{10}N:
\log_{10}N = \frac{S-c}{m} = \frac{230 - 364{,}562}{-23{,}396}\approx 5{,}753.
Logo
N \approx 10^{5{,}753}\approx 5{,}66\times10^{5}\\ \text{ciclos}.
  • Para \,S=175\\ \text{MPa}\, (menor que o limite de fadiga 193\\ \text{MPa}): teoricamente a liga entra na região de vida infinita (ou seja, não é esperado que rompa por fadiga mesmo depois de muitos ciclos). Portanto a vida é considerada “infinita” (ou, na prática, muito maior que as faixas testadas).

Passo 9

(d) Estimativa das tensões para N=2\times10^{5} e N=6\times10^{6} usando a reta ajustada:
  • Para N=2\times10^{5}: \log_{10}N=\log_{10}(2\times10^{5})=5{,}30103. Então
S = -23{,}396\cdot 5{,}30103 + 364{,}562 \approx 240{,}54\\ \text{MPa}.
  • Para N=6\times10^{6}: \log_{10}N=\log_{10}(6)+6\approx 6{,}77815125. Então
S = -23{,}396\cdot 6{,}77815125 + 364{,}562 \approx 206{,}00\\ \text{MPa}.
Esses valores são coerentes com a tendência dos dados (por exemplo, S em 3\times10^{6} é 213\\ \text{MPa} na tabela, e a previsão para 6\times10^{6} ficou em \approx206\\ \text{MPa}).

Resposta

(a) Pontos a plotar: (5{,}000,\;248),\\ (5{,}4771,\;236),\\ (6{,}000,\;224),\\ (6{,}4771,\;213),\\ (7{,}000,\;201),\\ (7{,}4771,\;193),\\ (8{,}000,\;193),\\ (8{,}4771,\;193). Reta ajustada: \,S(\log_{10}N)\approx -23{,}396\log_{10}N + 364{,}562\,. Desenhe também a linha horizontal S=193\\ \text{MPa} (platô).
(b) Limite de resistência à fadiga: \,193\\ \text{MPa}.
(c) Vida para 230\\ \text{MPa}: \,N\approx 5{,}66\times10^{5}\\ \text{ciclos}. Vida para 175\\ \text{MPa}: \,infinita (abaixo do limite de fadiga 193\\ \text{MPa}).
(d) Resistências estimadas: para N=2\times10^{5}, S\approx 240{,}5\\ \text{MPa}; para N=6\times10^{6}, S\approx 206{,}0\\ \text{MPa}.

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