Os dados fornecidos abaixo foram obtidos para o crescimento em meio simples da bactéria Aerobacter aerogenes. Estabeleça graficamente o perfil de crescimento do microrganismo e determine a velocidade específica máxima de crescimento, o tempo de duplicação, e a extensão da fase lag.
T
(\mathrm{min})
0 49 78 107 139 168 201 230 259 283 321 346 376 400
X
\mathrm{g} / \mathrm{L}
0,09 0,09 0,09 0,11 0,14 0,17 0,21 0,26 0,34 0,39 0,46 0,48 0,48 0,48

Passo 1

O enunciado fornece uma série de medidas de concentração celular X (g/L) em vários tempos t (min) para Aerobacter aerogenes em meio simples. Pede-se:
– desenhar o perfil de crescimento (fases lag, exponencial e estacionária);
– obter a velocidade específica máxima de crescimento \mu_{\max}$; – calcular o tempo de duplicação \(t_d;
– estimar a duração da fase lag.
Conteúdo envolvido: cinética de crescimento microbiano em batelada, onde
\mu = \frac{1}{X}\frac{dX}{dt}\approx\frac{d(\ln X)}{dt}\,.)

Passo 2

Transformamos os dados em \ln X para identificar a fase exponencial como um trecho aproximadamente linear em \ln X vs.\ t. Alguns valores calculados são:
\begin{array}{c|c|c} t\\ (\min)& X\\ (\mathrm{g/L}) & \ln X \\\ \hline 0 & 0,09 & -2{,}4079\\\\ 49 & 0,09 & -2{,}4079\\\\ 78 & 0,09 & -2{,}4079\\\\ 107 & 0,11 & -2{,}2073\\\\ 139 & 0,14 & -1{,}9661\\\\ 168 & 0,17 & -1{,}7710\\\\ 201 & 0,21 & -1{,}5606\\\\ 230 & 0,26 & -1{,}3471\\\\ 259 & 0,34 & -1{,}0788\\\\ 283 & 0,39 & -0{,}9416\\\\ 321 & 0,46 & -0{,}7765\\\\ 346 & 0,48 & -0{,}7339\\\\ 376 & 0,48 & -0{,}7339\\\\ 400 & 0,48 & -0{,}7339 \end{array}
Plotando esses pares, vemos três fases:
Lag aproximadamente até t\approx80 min (linha quase horizontal em \ln X).
Exponencial de cerca de 107 min a 321 min (trecho linear).
Estacionária após ~321 min ( \ln X constante).

Passo 3

Na fase exponencial ajustamos uma reta \ln X = \mu_{\max}\,t + b. Por exemplo, entre t_1=139 min \ln X_1=-1{,}9661 e t_2=259 min \ln X_2=-1{,}0788:
\mu_{\max}\approx\frac{\ln X_2-\ln X_1}{t_2-t_1} =\frac{-1{,}0788-(-1{,}9661)}{259-139} =\frac{0{,}8873}{120} \approx0{,}00739\\ \min^{-1}.

Passo 4

O tempo de duplicação t_d é dado por
t_d=\frac{\ln2}{\mu_{\max}} =\frac{0{,}6931}{0{,}00739} \approx93{,}8\\ \min.

Passo 5

Para estimar a duração da fase lag, extrapolamos a reta da fase exponencial até interceptar \ln X=\ln(0{,}09)=-2{,}4079. Primeiro encontramos o coeficiente linear
b=\ln X_1-\mu_{\max}t_1 =-1{,}9661-(0{,}00739\times139) \approx-2{,}9933.
Então o tempo de lag t_{\rm lag} satisfaz
-2{,}4079 = \mu_{\max}\,t_{\rm lag}+b \quad\Longrightarrow\quad t_{\rm lag}=\frac{-2{,}4079-(-2{,}9933)}{0{,}00739} \approx79{,}2\\ \min.

Resposta

Velocidade específica máxima: \mu_{\max}\approx0,00739\\ \min^{-1}.
Tempo de duplicação: t_d\approx93,8\\ \min.
Extensão da fase lag: t_{\rm lag}\approx79\\ \min.

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