Dados os grupos G abaixo, determine as ordens de cada um de seus elementos.
G=S3.

Passo 1

Neste exercício temos o grupo de permutações simétricas de 3 elementos, ou seja, G = S₃. O que pedem é a ordem de cada elemento de S₃ — para isso vamos usar a teoria de permutações em notação de ciclos.

Passo 2

Em permutações, a ordem de um elemento é o mínimo n tal que a permutação elevada a n é a identidade. Quando escrevemos a permutação em ciclos disjuntos, sua ordem é o mínimo múltiplo comum (mmc) dos comprimentos desses ciclos.

Passo 3

Primeiro listamos os elementos de S₃ em notação de ciclos:
[
S_{3}={,e,;(1,2),;(1,3),;(2,3),;(1,2,3),;(1,3,2)}.

Passo 4

Agora classificamos cada elemento e usamos o mmc dos comprimentos dos ciclos:
– Identidade e: ciclo de comprimento 1, ordem = 1.
– Transposições (1 2), (1 3), (2 3): cada uma é um 2-ciclo, ciclo de comprimento 2, ordem = 2.
– 3-ciclos (1 2 3) e (1 3 2): cada um tem ciclo de comprimento 3, ordem = 3.

Resposta

As ordens dos elementos de S₃ são:
• ord(e) = 1
• ord((1 2)) = 2
• ord((1 3)) = 2
• ord((2 3)) = 2
• ord((1 2 3)) = 3
• ord((1 3 2)) = 3

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