Dados históricos mostram que 5 % dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcular a probabilidade de:
qual é o número esperado de itens bons no lote?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: a proporção de itens defeituosos do fornecedor é 5\%.
  • Informação: o lote tem 20 itens.
  • Pergunta: qual é o número esperado de itens bons no lote?

Passo 2

Vamos formalizar o problema com uma variável aleatória. Defina Y como o número de itens bons no lote de 20 itens. Cada item, ao ser verificado, tem dois resultados possíveis: “bom” ou “defeituoso”. Assumimos que:
  • cada item é independente dos outros (condição usual neste tipo de problema);
  • a probabilidade de um item ser defeituoso é 5\%, logo a probabilidade de um item ser bom é 1-5\%=95\%.
Portanto, Y segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p onde:
n=20,\qquad p=0,95.
Aqui n é o número de ensaios (itens) e p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui “sucesso” = item bom).

Passo 3

Agora a fórmula-chave: para uma variável aleatória binomial Y\sim\mathrm{Binomial}(n,p), o valor esperado (média) é
E(Y)=n\,p.
Explicação didática do porquê: a binomial pode ser vista como a soma de n variáveis de Bernoulli idênticas X_i (cada X_i vale 1 se o i-ésimo item for bom e 0 caso contrário). Para cada Bernoulli vale E(X_i)=p. A esperança da soma é a soma das esperanças, logo E(Y)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=n p.
Como exemplo simples: se n=1 e p=0,95, então E(Y)=1\cdot0,95=0,95 que significa que em média espera-se 0,95 itens bons em um único teste — faz sentido como probabilidade.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
E(Y)=n\,p=20\cdot 0,95.
Faço a conta passo a passo sem calculadora:
0,95=\frac{95}{100},\quad 20\cdot\frac{95}{100}=\frac{20\cdot95}{100}=\frac{1900}{100}=19.
Outra maneira rápida: a esperança do número de defeituosos é 20\cdot0,05=1, logo o número esperado de bons é 20-1=19. Dá no mesmo.

Passo 5

Interpretação final e motivação: isso significa que, em média, de cada lote de 20 itens espera-se encontrar 19 itens bons e 1 defeituoso. Não é uma garantia para um lote específico (pode ocorrer mais ou menos defeitos), mas é a média esperada em muitos lotes.
Força aí — você já tem a ideia principal para questões semelhantes: identificar n e p (lembrando transformar porcentagem para decimal), lembrar que E=\!np e fazer a multiplicação simples.

Resposta

19 itens bons

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