Dados históricos mostram que
dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcular a probabilidade de:
qual é o número esperado de itens bons no lote?
qual é o número esperado de itens bons no lote?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: a proporção de itens defeituosos do fornecedor é
. - Informação: o lote tem
itens. - Pergunta: qual é o número esperado de itens bons no lote?
Passo 2
Vamos formalizar o problema com uma variável aleatória. Defina
como o número de itens bons no lote de
itens. Cada item, ao ser verificado, tem dois resultados possíveis: “bom” ou “defeituoso”. Assumimos que:
- cada item é independente dos outros (condição usual neste tipo de problema);
- a probabilidade de um item ser defeituoso é
, logo a probabilidade de um item ser bom é .
Portanto,
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
onde:
Aqui
é o número de ensaios (itens) e
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui “sucesso” = item bom).
Passo 3
Agora a fórmula-chave: para uma variável aleatória binomial
, o valor esperado (média) é
Explicação didática do porquê: a binomial pode ser vista como a soma de
variáveis de Bernoulli idênticas
(cada
vale
se o i-ésimo item for bom e
caso contrário). Para cada Bernoulli vale
. A esperança da soma é a soma das esperanças, logo
.
Como exemplo simples: se
e
, então
que significa que em média espera-se
itens bons em um único teste — faz sentido como probabilidade.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Faço a conta passo a passo sem calculadora:
Outra maneira rápida: a esperança do número de defeituosos é
, logo o número esperado de bons é
. Dá no mesmo.
Passo 5
Interpretação final e motivação: isso significa que, em média, de cada lote de
itens espera-se encontrar
itens bons e
defeituoso. Não é uma garantia para um lote específico (pode ocorrer mais ou menos defeitos), mas é a média esperada em muitos lotes.
Força aí — você já tem a ideia principal para questões semelhantes: identificar
e
(lembrando transformar porcentagem para decimal), lembrar que
e fazer a multiplicação simples.