Dados históricos mostram que \mathbf{5} \boldsymbol{\%} dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com \mathbf{20} itens, calcular a probabilidade de:
haver exatamente dois itens defeituosos;

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, em um lote com 20 itens de um fornecedor que historicamente tem 5\% de itens defeituosos, haver exatamente dois itens defeituosos.
Informações dadas:
  • Tamanho do lote: n=20.
  • Probabilidade histórica de defeito por item: p=0,05.
  • Evento pedido: exatamente 2 itens defeituosos.

Passo 2

Modelagem (por que usar esse modelo). Quando temos n ensaios independentes, cada um com mesma probabilidade p de “sucesso” (aqui: ser defeituoso) e queremos contar o número de sucessos, o número de sucessos X segue a distribuição binomial. A fórmula geral da probabilidade binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicação detalhada dos símbolos:
  • X é a variável aleatória que conta quantos itens defeituosos aparecem no lote.
  • n é o número de ensaios independentes (aqui n=20).
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=2).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,05).
  • 1-p é a probabilidade de fracasso em cada ensaio (aqui 1-p=0,95).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher k itens dentre n; sua fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso k=2, n=20, p=0,05:
P(X=2)=\binom{20}{2}\,(0,05)^{2}\,(0,95)^{18}.

Passo 4

Calcular o coeficiente binomial \binom{20}{2}:
\binom{20}{2}=\frac{20\times19}{2\times1}= \frac{380}{2}=190.
Motivo: simplificou-se 20!/18!=20\cdot19 e dividiu-se por 2!=2.

Passo 5

Calcular as potências que aparecem:
(0,05)^{2}=0,0025.
Para (0,95)^{18} pode-se usar exponenciação por quadrados (útil sem calculadora para organizar cálculos):
(0,95)^{2}=0,9025,
(0,95)^{4}=(0,95)^{2}\times(0,95)^{2}=0,9025^{2}=0,81450625,
(0,95)^{8}=(0,95)^{4}\times(0,95)^{4}=0,81450625^{2}=0,6634204312890625,
(0,95)^{10}=(0,95)^{8}\times(0,95)^{2}=0,6634204312890625\times0,9025\approx0,5987369392383789,
(0,95)^{18}=(0,95)^{10}\times(0,95)^{8}\approx0,5987369392383789\times0,6634204312890625\approx0,397353.
(Arredondei (0,95)^{18} para 0,397353 mantendo precisão suficiente para o resultado final.)

Passo 6

Multiplicar tudo:
P(X=2)=190\times0,0025\times0,397353.
Primeiro 190\times0,0025=0,475. Então
P(X=2)\approx0,475\times0,397353\approx0,188742675.
Arredondando para quatro casas decimais dá aproximadamente 0,1887, ou seja cerca de 18,87\%.

Resposta

P(X=2)=\binom{20}{2}\,(0,05)^{2}\,(0,95)^{18}\approx0,1887

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