Dados históricos mostram que \mathbf{5} \boldsymbol{\%} dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com \mathbf{20} itens, calcular a probabilidade de:
haver algum item com defeito;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Probabilidade de um item ser defeituoso: p=0,05 (ou 5\%).
  • Tamanho do lote: n=20 itens.
    O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de haver algum item com defeito no lote, ou seja, a probabilidade de existir pelo menos um item defeituoso entre os 20.

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Defina a variável aleatória X como o número de itens defeituosos entre os 20.
  • Quando cada item tem probabilidade p independente de ser defeituoso, X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p. A fórmula da probabilidade de exatamente k defeituosos é
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de formas de escolher k itens defeituosos entre n),
  • p^{k} é a probabilidade de esses k específicos serem defeituosos,
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de os outros n-k não serem defeituosos.
  • O que o enunciado quer é P(X\ge1) (pelo menos um defeituoso). Em vez de somar P(X=1)+P(X=2)+\dots+P(X=20), usamos o complemento, que é muito mais simples:
P(X\ge1)=1-P(X=0).
  • Aqui P(X=0) é a probabilidade de nenhum item ser defeituoso, e pela fórmula da binomial com k=0 temos
P(X=0)=(1-p)^{n}.

Passo 3

Aplicando os números do problema.
  • Substituindo p=0,05 e n=20:
P(\text{pelo menos 1 defeito})=1-(1-0,05)^{20}=1-(0,95)^{20}.
Agora vamos calcular (0,95)^{20} de forma prática, mostrando passos que podem ser feitos à mão por repetição de potências (ou por calculadora se tiver na prova):
Calcule potências intermediárias:
(0,95)^{2}=0,9025.
(0,95)^{4}=(0,95)^{2}\times(0,95)^{2}=0,9025\times0,9025=0,81450625.
(0,95)^{5}=(0,95)^{4}\times0,95=0,81450625\times0,95=0,7737809375.
(0,95)^{10}=\big((0,95)^{5}\big)^{2}=0,7737809375^{2}=0,5987369392383789\\ (\text{aprox.}).
(0,95)^{20}=\big((0,95)^{10}\big)^{2}=0,5987369392383789^{2}=0,3584859224085418\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Obter a probabilidade pedida e interpretação.
  • Usando o valor calculado:
P(\text{pelo menos 1 defeito})=1-(0,95)^{20}=1-0,3584859224\approx0,6415140776.
  • Interpretação: há cerca de 64{,}15\% de chance de, num lote de 20 itens onde cada item tem 5\% de chance de estar defeituoso, existir pelo menos um defeituoso. Dica para a prova: sempre tente usar o complemento 1-P(0) — é o jeito mais curto e seguro para “pelo menos um”.

Resposta

1-(0,95)^{20}\approx0,6415

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