Dados históricos mostram que
dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com
itens, calcular a probabilidade de:
qual é o número esperado de itens defeituosos no lote?
qual é o número esperado de itens defeituosos no lote?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A probabilidade de um item ser defeituoso é
. - O lote contém
itens.
O enunciado pergunta qual é o número esperado de itens defeituosos no lote.
Passo 2
Vamos definir a variável aleatória que representa a quantidade de itens defeituosos no lote:
- Seja
o número de itens defeituosos entre os itens.
Justificativa do modelo (sem desenvolver ainda a conta): cada item tem apenas duas possibilidades (defeituoso ou não), a probabilidade de defeito é a mesma para cada item e os itens podem ser tratados como ensaios independentes. Nessas condiçõessegue uma distribuição binomial com parâmetros e . Escrevemos isso como .
Passo 3
Fórmula e ideia para calcular o valor esperado (a “média” matemática):
- Para a distribuição binomial
Explicação didática do porquê dessa fórmula (passo a passo): pense em cada item como uma variável indicadora
, com
Cada
, então
. O número total de defeituosos é a soma
Pela linearidade da esperança (ou seja, a esperança da soma é a soma das esperanças), obtemos
Isso quer dizer, de forma intuitiva, que em média se espera
defeituoso por item, e multiplicando por
obtemos o total médio esperado no lote.]
Passo 4
Aplicando os números do enunciado:
- Aqui
e .
Calculemos
Fazendo a conta passo a passo:
, então
Passo 5
Interpretação do resultado (para te deixar mais seguro): o valor esperado
significa que, em média, espera-se encontrar
item defeituoso por lote de
itens. Isso não garante que todo lote terá exatamente
defeituoso — em lotes individuais pode ocorrer
— mas ao observar muitos lotes a média tende para
.