Dados históricos mostram que \mathbf{5} \boldsymbol{\%} dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com \mathbf{20} itens, calcular a probabilidade de:
qual é o número esperado de itens defeituosos no lote?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A probabilidade de um item ser defeituoso é \,5\%.
  • O lote contém 20 itens.
    O enunciado pergunta qual é o número esperado de itens defeituosos no lote.

Passo 2

Vamos definir a variável aleatória que representa a quantidade de itens defeituosos no lote:
  • Seja X o número de itens defeituosos entre os 20 itens.
    Justificativa do modelo (sem desenvolver ainda a conta): cada item tem apenas duas possibilidades (defeituoso ou não), a probabilidade de defeito é a mesma para cada item e os itens podem ser tratados como ensaios independentes. Nessas condições X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=20 e p=0,05. Escrevemos isso como X\sim\mathrm{Bin}(20,0,05).

Passo 3

Fórmula e ideia para calcular o valor esperado (a “média” matemática):
  • Para a distribuição binomial X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\) vale a fórmula \[E[X]=n p.
Explicação didática do porquê dessa fórmula (passo a passo): pense em cada item como uma variável indicadora X_i, com
X_i = \begin{cases}1, & \text{se o item }i\text{ for defeituoso},\\[4pt]0, & \text{se não for defeituoso}.\end{cases}ã
Cada X_i\] é uma Bernoulli com \(P(X_i=1)=p, então E[X_i]=p. O número total de defeituosos é a soma
X=\sum_{i=1}^{n} X_i.
Pela linearidade da esperança (ou seja, a esperança da soma é a soma das esperanças), obtemos
E[X]=\sum_{i=1}^{n} E[X_i]=\sum_{i=1}^{n} p = n p.
Isso quer dizer, de forma intuitiva, que em média se espera p defeituoso por item, e multiplicando por n obtemos o total médio esperado no lote.]

Passo 4

Aplicando os números do enunciado:
  • Aqui n=20 e p=0,05.
    Calculemos
E[X]=n p = 20 \cdot 0,05.
Fazendo a conta passo a passo: 0,05 = \dfrac{5}{100}, então
20\cdot0,05 = 20\cdot\dfrac{5}{100} = \dfrac{100}{100} = 1.

Passo 5

Interpretação do resultado (para te deixar mais seguro): o valor esperado E[X]=1 significa que, em média, espera-se encontrar 1 item defeituoso por lote de 20 itens. Isso não garante que todo lote terá exatamente 1 defeituoso — em lotes individuais pode ocorrer 0,1,2,\dots — mas ao observar muitos lotes a média tende para 1.

Resposta

1 item defeituoso esperado

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