Como objetivo de avaliar a confiabilidade de um novo sistema de transmissão de dados, torna-se necessário verificar a proporção de bits transmitidos com erro em cada lote de 100 Mb . Considere que seja tolerável um erro amostral máximo de 2 \% e que em sistemas similares a taxa de erro na transmissão é de 10 \%. Qual deve ser o tamanho da amostra?
Use \gamma=0,95.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • O enunciado pede: determinar o tamanho da amostra necessária para estimar a proporção de bits com erro, com nível de confiança \gamma=0,95 e erro amostral máximo tolerável de 2\%.
  • Dados fornecidos:
    • Margem de erro tolerável: \,E=2\%\\ =0,02.
    • Estimativa prévia da proporção (com base em sistemas similares): \,p=10\%\\ =0,10.
    • Cada lote tem 100 Mb; isto corresponde a uma população finita de N=100\times10^{6} bits (se for necessário usar correção de população finita).
  • Pergunta explícita: Qual deve ser o tamanho da amostra n (número de bits a inspecionar) para garantir margem de erro \leq E com confiança \gamma=0,95?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Quando queremos estimar uma proporção \,p por uma proporção amostral \hat{p}, um intervalo de confiança aproximado para \hat{p} com nível de confiança 1-\alpha é
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Aqui:
  • \hat{p} é a proporção amostral (a estimativa de p feita pela amostra).
  • \,z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo para 95\% é z_{0{,}975}).
  • A quantidade \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão da proporção.
  • A margem de erro máxima E é o raio do intervalo, ou seja
E = z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Reorganizando para n (assumindo que usamos a melhor estimativa de p conhecida a priori) obtemos a fórmula de tamanho de amostra:
n_0=\frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.
  • Observação didática: se não se soubesse nada sobre p, usa‑se p=0{,}5 por ser conservador (maximiza p(1-p)), mas aqui temos p=0{,}10, que reduz n.

Passo 3

Determinar o valor de z_{1-\alpha/2} para \gamma=0{,}95.
  • O nível de confiança \gamma é 0{,}95, logo \alpha=1-\gamma=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025.
  • O quantil correspondente é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}. Conhecido ou em tabela, vale aproximadamente
z_{0{,}975}=1{,}96.

Passo 4

Substituir na fórmula e calcular passo a passo.
  • Primeiro calcule p(1-p):
p(1-p)=0{,}10\cdot(1-0{,}10)=0{,}10\cdot0{,}90=0{,}09.
  • Calcule z^{2}:
z_{0{,}975}^{2}=1{,}96^{2}=3{,}8416.
  • Calcule E^{2}:
E^{2}=0{,}02^{2}=0{,}0004.
  • Agora a fórmula
n_0=\frac{z_{0{,}975}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}=\frac{3{,}8416\cdot0{,}09}{0{,}0004}.

Passo 5

Fazer a multiplicação e divisão numéricas com cuidado (passos “mastigados”).
  • Multiplicação no numerador:
3{,}8416\cdot0{,}09=0{,}345744.
  • Divisão pelo denominador:
n_0=\frac{0{,}345744}{0{,}0004}=864{,}36.

Passo 6

Arredondamento e regra prática.
  • O valor calculado n_0\approx864{,}36 representa o número esperado de observações necessárias. Como não se pode inspecionar fração de bit e para garantir que a margem de erro não ultrapasse E, deve-se arredondar para cima.
  • Portanto, o tamanho da amostra requerido é
n=\lceil864{,}36\rceil=865.

Passo 7

Comentário sobre correção para população finita (opcional, mas didático).
  • Se for importante usar a correção de população finita (quando a amostra é uma fração não desprezível da população), usa‑se
n = \frac{N\,n_0}{N + n_0 - 1},
onde N é o tamanho da população. Aqui N=100\times10^{6} bits (pois cada lote tem 100 Mb).
  • Substituindo N=100\times10^{6} e n_0=864{,}36,
n=\frac{100\times10^{6}\cdot864{,}36}{100\times10^{6}+864{,}36-1}\approx864{,}35,
que é praticamente igual a 864{,}36. Ou seja, com uma população tão grande (100 milhões) a correção é negligenciável; o arredondamento para cima continua a dar n=865.
  • Conclusão prática: inspecionar 865 bits do lote garante, com 95\% de confiança, que a estimativa da taxa de erro terá erro máximo de 2\%, assumindo taxa a priori 10\%.

Resposta

\,n=865

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