Como objetivo de avaliar a confiabilidade de um novo sistema de transmissão de dados, torna-se necessário verificar a proporção de bits transmitidos com erro em cada lote de 100 Mb . Considere que seja tolerável um erro amostral máximo de
e que em sistemas similares a taxa de erro na transmissão é de
. Qual deve ser o tamanho da amostra?
Use
.
Use
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- O enunciado pede: determinar o tamanho da amostra necessária para estimar a proporção de bits com erro, com nível de confiança
e erro amostral máximo tolerável de . - Dados fornecidos:
- Margem de erro tolerável:
. - Estimativa prévia da proporção (com base em sistemas similares):
. - Cada lote tem
Mb; isto corresponde a uma população finita de bits (se for necessário usar correção de população finita).
- Margem de erro tolerável:
- Pergunta explícita: Qual deve ser o tamanho da amostra
(número de bits a inspecionar) para garantir margem de erro com confiança ?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Quando queremos estimar uma proporção
por uma proporção amostral , um intervalo de confiança aproximado para com nível de confiança é
Aqui:
-
é a proporção amostral (a estimativa de feita pela amostra). -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo para é ). - A quantidade
é o erro padrão da proporção. - A margem de erro máxima
é o raio do intervalo, ou seja
Reorganizando para
(assumindo que usamos a melhor estimativa de
conhecida a priori) obtemos a fórmula de tamanho de amostra:
- Observação didática: se não se soubesse nada sobre
, usa‑se por ser conservador (maximiza ), mas aqui temos , que reduz .
Passo 3
Determinar o valor de
para
.
- O nível de confiança
é , logo e . - O quantil correspondente é
. Conhecido ou em tabela, vale aproximadamente
Passo 4
Substituir na fórmula e calcular passo a passo.
- Primeiro calcule
:
- Calcule
:
- Calcule
:
- Agora a fórmula
Passo 5
Fazer a multiplicação e divisão numéricas com cuidado (passos “mastigados”).
- Multiplicação no numerador:
- Divisão pelo denominador:
Passo 6
Arredondamento e regra prática.
- O valor calculado
representa o número esperado de observações necessárias. Como não se pode inspecionar fração de bit e para garantir que a margem de erro não ultrapasse , deve-se arredondar para cima. - Portanto, o tamanho da amostra requerido é
Passo 7
Comentário sobre correção para população finita (opcional, mas didático).
- Se for importante usar a correção de população finita (quando a amostra é uma fração não desprezível da população), usa‑se
onde
é o tamanho da população. Aqui
bits (pois cada lote tem
Mb).
- Substituindo
e ,
que é praticamente igual a
. Ou seja, com uma população tão grande (100 milhões) a correção é negligenciável; o arredondamento para cima continua a dar
.
- Conclusão prática: inspecionar
bits do lote garante, com de confiança, que a estimativa da taxa de erro terá erro máximo de , assumindo taxa a priori .