Dados A=3 imath-jmath+k e B=imath-2 vec jmath -k. Faça o que se pede:
b) Confirme que realmente A times B é perpendicular a A e B, mostrando que (A times B) cdot A=0 e (A times B) cdot B= 0 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado nos dá dois vetores, A e B, e pede para confirmarmos que o produto vetorial deles, A times B, é perpendicular tanto a A quanto a B. Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e produto escalar da matéria de Álgebra Linear ou de Física (dependendo do contexto). Precisamos calcular o produto vetorial e depois os produtos escalares com cada vetor original para verificar se dão zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial A times B. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
A times B = imath & jmath & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz
Onde imath, jmath e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos substituir os componentes dos vetores A e B na matriz:
A = 3imath - jmath + k Rightarrow Ax = 3, Ay = -1, Az = 1
B = imath - 2jmath - k Rightarrow Bx = 1, By = -2, Bz = -1
Então, a matriz fica:
A times B = imath & jmath & k 3 & -1 & 1 1 & -2 & -1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
A times B = imath cdot ( (-1)(-1) - (1)(-2) ) - jmath cdot ( 3(-1) - (1)(1) ) + k cdot ( 3(-2) - (-1)(1) )
Simplificando cada termo:
imath cdot (1 + 2) = 3imath
- jmath cdot (-3 - 1) = 4jmath
k cdot (-6 + 1) = -5k
Então, o produto vetorial é:
A times B = 3imath + 4jmath - 5k

Passo 5

Agora que temos A times B, vamos verificar se ele é perpendicular a A e B usando o produto escalar. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.
Primeiro, calculamos (A times B) cdot A:
(3imath + 4jmath - 5k) cdot (3imath - jmath + k) = 3 times 3 + 4 times (-1) + (-5) times 1 = 9 - 4 - 5 = 0

Passo 6

Agora, vamos calcular (A times B) cdot B:
(3imath + 4jmath - 5k) cdot (imath - 2jmath - k) = 3 times 1 + 4 times (-2) + (-5) times (-1) = 3 - 8 + 5 = 0

Resposta

Conseguimos ver que (A times B) cdot A = 0 e (A times B) cdot B = 0, ou seja, A times B é realmente perpendicular tanto a A quanto a B.

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