Dados e . Faça o que se pede:
b) Confirme que realmente é perpendicular a , mostrando que e 0 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado nos dá dois vetores, e , e pede para confirmarmos que o produto vetorial deles, , é perpendicular tanto a quanto a . Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e produto escalar da matéria de Álgebra Linear ou de Física (dependendo do contexto). Precisamos calcular o produto vetorial e depois os produtos escalares com cada vetor original para verificar se dão zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Onde imath, jmath e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos substituir os componentes dos vetores A e B na matriz:
A = 3imath - jmath + k Rightarrow Ax = 3, Ay = -1, Az = 1
B = imath - 2jmath - k Rightarrow Bx = 1, By = -2, Bz = -1
Então, a matriz fica:
A times B = imath & jmath & k 3 & -1 & 1 1 & -2 & -1
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
A times B = imath cdot ( (-1)(-1) - (1)(-2) ) - jmath cdot ( 3(-1) - (1)(1) ) + k cdot ( 3(-2) - (-1)(1) )
Simplificando cada termo:
imath cdot (1 + 2) = 3imath
- jmath cdot (-3 - 1) = 4jmath
k cdot (-6 + 1) = -5k
Então, o produto vetorial é:
A times B = 3imath + 4jmath - 5k
Passo 5
Agora que temos A times B, vamos verificar se ele é perpendicular a A e B usando o produto escalar. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.