Se mdc(a, b)=1 e se c mid a e h mid b então mdc(c, h)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o máximo divisor comum (mdc) de dois números. A gente tem que provar que, se o mdc de a e b é 1, e se c divide a e h divide b, então o mdc de c e h também é 1. Para resolver isso, vamos usar as propriedades de divisibilidade e do mdc.

Passo 2

Primeiro, como c divide a, isso significa que a pode ser escrito como a = c cdot k, onde k é um número inteiro.

Passo 3

De forma similar, já que h divide b, podemos escrever b = h cdot m, onde m é também um número inteiro.

Passo 4

Sabemos que o mdc de a e b é 1, ou seja, mdc(a, b) = 1. Substituindo a e b pelas expressões que encontramos, temos:
mdc(c cdot k, h cdot m) = 1

Passo 5

Agora, vamos pensar no mdc de c e h. Suponha que exista um número inteiro d > 1 que divide tanto c quanto h. Isso significaria que d também divide a = c cdot k e b = h cdot m.

Passo 6

Mas isso causaria um problema, porque se d > 1 divide tanto a quanto b, então o mdc de a e b não seria 1, o que contraria a condição inicial. Portanto, nossa suposição está errada.

Resposta

Logo, mdc(c, h) = 1.

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