Se
e se
e
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o máximo divisor comum (mdc) de dois números. A gente tem que provar que, se o mdc de
e
é 1, e se
divide
e
divide
, então o mdc de
e
também é 1. Para resolver isso, vamos usar as propriedades de divisibilidade e do mdc.
Passo 2
Primeiro, como
divide
, isso significa que
pode ser escrito como
, onde
é um número inteiro.
Passo 3
De forma similar, já que
divide
, podemos escrever
, onde
é também um número inteiro.
Passo 4
Sabemos que o mdc de
e
é 1, ou seja,
. Substituindo
e
pelas expressões que encontramos, temos:
Passo 5
Agora, vamos pensar no mdc de
e
. Suponha que exista um número inteiro
que divide tanto
quanto
. Isso significaria que
também divide
e
.
Passo 6
Mas isso causaria um problema, porque se
divide tanto
quanto
, então o mdc de
e
não seria 1, o que contraria a condição inicial. Portanto, nossa suposição está errada.
Resposta
Logo,
.