Dados inteiros
e
prove que:
Passo 1
Então, o enunciado nos pede para provar que, para quaisquer inteiros
e
, a desigualdade
é verdadeira. Vamos usar conceitos de valor absoluto e propriedades da multiplicação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor absoluto. O valor absoluto de um número, representado por
, é a distância desse número até zero na reta numérica, sempre sendo um valor não negativo.
Passo 3
Sabemos que o valor absoluto de um produto pode ser escrito como o produto dos valores absolutos. Ou seja,
. Vamos usar essa propriedade para transformar a desigualdade que queremos provar.
Passo 4
Substituindo na desigualdade original, temos:
Isso significa que queremos mostrar que
.
Passo 5
Agora, podemos simplificar essa desigualdade dividindo ambos os lados por
, assumindo que
:
Isso nos mostra que, para a desigualdade original
ser verdadeira, o valor absoluto de
deve ser pelo menos 1.
Passo 6
Como
é um número inteiro, o valor absoluto
será sempre maior ou igual a 1, a menos que
. Portanto, se
, temos
, o que satisfaz a desigualdade
.
Passo 7
Se
, então
e
, então a desigualdade
também é satisfeita.
Resposta
Portanto, para quaisquer inteiros
e
, a desigualdade
é verdadeira.