Dados inteiros a e b prove que:
|a b| >=|a|

Passo 1

Então, o enunciado nos pede para provar que, para quaisquer inteiros e , a desigualdade é verdadeira. Vamos usar conceitos de valor absoluto e propriedades da multiplicação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor absoluto. O valor absoluto de um número, representado por , é a distância desse número até zero na reta numérica, sempre sendo um valor não negativo.

Passo 3

Sabemos que o valor absoluto de um produto pode ser escrito como o produto dos valores absolutos. Ou seja, . Vamos usar essa propriedade para transformar a desigualdade que queremos provar.

Passo 4

Substituindo na desigualdade original, temos:
|ab| = |a| cdot |b| >= |a|
Isso significa que queremos mostrar que .

Passo 5

Agora, podemos simplificar essa desigualdade dividindo ambos os lados por |b| >= 1 , assumindo que :
Isso nos mostra que, para a desigualdade original ser verdadeira, o valor absoluto de deve ser pelo menos 1.

Passo 6

Como é um número inteiro, o valor absoluto será sempre maior ou igual a 1, a menos que . Portanto, se , temos , o que satisfaz a desigualdade .

Passo 7

Se , então e , então a desigualdade também é satisfeita.

Resposta

Portanto, para quaisquer inteiros e , a desigualdade é verdadeira.

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