Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(i) integral-infty^infty x^2 e^-x^2 d x

Passo 1

Temos a integral imprópria integral-infty^infty x^2 e^-x^2 ,dx. Esse exercício envolve integrais impróprias e técnicas de cálculo de integrais gaussianas; vamos precisar usar simetria de funções pares e integração por partes.

Passo 2

Observamos que a função f(x)=x^2e^-x^2 é par, ou seja, f(-x)=f(x). Portanto podemos escrever
integral-infty^infty x^2 e^-x^2 ,dx = 2 integral0^infty x^2 e^-x^2 ,dx

Passo 3

Para verificar a convergência, note que e^-x^2 decai superexponencialmente quando |x|toinfty. Logo a integral converge por comparação com qualquer integral de potência decrescente (por exemplo, 1/x^p).

Passo 4

Agora calculamos I=integral0^infty x^2 e^-x^2 ,dx por integração por partes. Definimos
u = x, d v = x e^-x^2 ,dx
portanto
du = dx, v = -tfrac12 e^-x^2
Aplicando integração por partes:
I = u,v |0^infty - integral0^infty v,du = -tfrac12 x e^-x^2 |0^infty + tfrac12 integral0^infty e^-x^2 ,dx
O termo de fronteira vale zero, e sabemos
integral0^infty e^-x^2 ,dx = raizpi2
Logo
I = tfrac12 cdot raizpi2 = raizpi4

Passo 5

Finalmente,
integral-infty^infty x^2 e^-x^2 ,dx = 2I = 2 cdot raizpi4 = raizpi2

Resposta

A integral converge e seu valor é tfracraizpi2.

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