Mostre que não existe um polinômio p(n) com coeficientes inteiros que forneça números primos para todo inteiro n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe polinômio não constante p(n) com coeficientes inteiros tal que, para todo inteiro n, o valor p(n) seja primo. O método principal é usar argumentos de divisibilidade: examinar p(0) e mostrar que, dependendo do valor de p(0), existem infinitos n para os quais p(n) é composto.

Passo 2

Considere primeiro o caso em que
p(0)=0
Nesse caso escrevemos
p(n)=n;Q(n),
onde Q(n) também tem coeficientes inteiros. Para qualquer n>=2 temos p(n)=n,Q(n)>=2cdot1=2 e, sendo produto de dois inteiros maiores que 1, p(n) é composto. Logo não pode ser sempre primo.

Passo 3

Agora suponha que
p(0)=k,
com lvert krvert>1. Para n=kN (com NinZ) temos, por divisibilidade de polinômios com coeficientes inteiros,
p(kN)equiv p(0)equiv kpmodk,
isto é, k divide p(kN). Para N>1 obtemos lvert p(kN)rvert>=lvert kcdot2rvert>1cdotlvert krvert, logo p(kN) é composto. Assim não há como p(n) ser sempre primo.

Passo 4

Resta o caso em que
p(0)=pm1
Então p(1) é algum inteiro m com lvert mrvert>1 (caso contrário p seria constante pm1). Defina o polinômio
q(n)=p(n+1)
Ele ainda tem coeficientes inteiros e satisfaz q(0)=p(1)=m com lvert mrvert>1. Pelo mesmo argumento do Passo 3, para n=mN temos q(mN) múltiplo de m e, para N>1, q(mN) é composto. Mas
q(mN)=p(mN+1),
logo p(mN+1) é composto para infinitos N. Contradição com a hipótese de que p(n) seria sempre primo.

Passo 5

Em todos os casos não-constantes mostramos que existem infinitos inteiros n tais que p(n) é composto. Conclui-se que não existe polinômio não constante com coeficientes inteiros que gere apenas números primos.

Resposta

Não existe polinômio com coeficientes inteiros que forneça apenas números primos para todo inteiro n.

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