Mostre que não existe um polinômio
com coeficientes inteiros que forneça números primos para todo inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe polinômio não constante
com coeficientes inteiros tal que, para todo inteiro
, o valor
seja primo. O método principal é usar argumentos de divisibilidade: examinar
e mostrar que, dependendo do valor de
, existem infinitos
para os quais
é composto.
Passo 2
Considere primeiro o caso em que
Nesse caso escrevemos
onde
também tem coeficientes inteiros. Para qualquer
temos
e, sendo produto de dois inteiros maiores que 1,
é composto. Logo não pode ser sempre primo.
Passo 3
Agora suponha que
com
. Para
(com
) temos, por divisibilidade de polinômios com coeficientes inteiros,
isto é,
divide
. Para
obtemos
, logo
é composto. Assim não há como
ser sempre primo.
Passo 4
Resta o caso em que
Então
é algum inteiro
com
(caso contrário
seria constante
). Defina o polinômio
Ele ainda tem coeficientes inteiros e satisfaz
com
. Pelo mesmo argumento do Passo 3, para
temos
múltiplo de
e, para
,
é composto. Mas
logo
é composto para infinitos
. Contradição com a hipótese de que
seria sempre primo.
Passo 5
Em todos os casos não-constantes mostramos que existem infinitos inteiros
tais que
é composto. Conclui-se que não existe polinômio não constante com coeficientes inteiros que gere apenas números primos.
Resposta
Não existe polinômio com coeficientes inteiros que forneça apenas números primos para todo inteiro
.