Dados os inteiros
e
, mostre que se
é primo, então
é par e
para algum
.
Passo 1
O enunciado afirma que, para inteiros
e
, se
é primo, então deve ocorrer que
é par e que
é uma potência de
, isto é,
para algum
.
Conteúdo: fatoração de somas de potências e argumentação sobre paridade.
Conteúdo: fatoração de somas de potências e argumentação sobre paridade.
Passo 2
Mostramos que
não pode ser ímpar. Se
fosse ímpar, então
também seria ímpar, e assim
seria um número par maior que
. Todo número par maior que
é composto, logo não poderia ser primo. Portanto,
deve ser par.
Passo 3
Agora mostramos que
não pode ter nenhum divisor ímpar maior que
. Suponha, por absurdo, que exista um primo ímpar
tal que
. Escrevendo
com
, temos
Como
é ímpar, a soma de potências satisfaz a fatoração
Tomando
, obtemos
que mostra que
é composto, contradizendo a primalidade. Logo,
não pode ter divisor ímpar além de
, o que implica que todos os seus divisores são potências de
. Assim
para algum
.