Dados os inteiros a>1 e n>1, mostre que se a^n+1 é primo, então a é par e n=2^m para algum m in N. ^4

Passo 1

O enunciado afirma que, para inteiros a>1 e n>1, se
a^n + 1
é primo, então deve ocorrer que a é par e que n é uma potência de 2, isto é, n = 2^m para algum m in N.
Conteúdo: fatoração de somas de potências e argumentação sobre paridade.

Passo 2

Mostramos que a não pode ser ímpar. Se a fosse ímpar, então a^n também seria ímpar, e assim
a^n + 1
seria um número par maior que 2. Todo número par maior que 2 é composto, logo não poderia ser primo. Portanto, a deve ser par.

Passo 3

Agora mostramos que n não pode ter nenhum divisor ímpar maior que 1. Suponha, por absurdo, que exista um primo ímpar p tal que pmid n. Escrevendo n = p,k com k>=1, temos
a^n + 1 = a^p k + 1 = l(a^kr)^p + 1
Como p é ímpar, a soma de potências satisfaz a fatoração
x^p + 1 = (x + 1)l(x^p-1 - x^p-2 + x^p-3 - cdots + 1r)
Tomando x = a^k, obtemos
a^n + 1 = (a^k + 1)l((a^k)^p-1 - (a^k)^p-2 + cdots + 1r),
que mostra que a^n+1 é composto, contradizendo a primalidade. Logo, n não pode ter divisor ímpar além de 1, o que implica que todos os seus divisores são potências de 2. Assim
n = 2^m
para algum minN.

Resposta

a é par e n = 2^m para algum minN.

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