A série
, com
primo, converge ou diverge? O que se pode concluir dessa resposta?
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a convergência da série cujos termos são os inversos dos números primos, ou seja,
O conteúdo principal aqui é análise de séries infinitas e, em particular, usaremos a identidade de Euler para a função zeta e o comportamento de
quando
.
Passo 2
Recordamos a identidade de Euler para a função zeta de Riemann, válida para
:
Essa igualdade relaciona a soma sobre todos os inteiros à um produto sobre todos os primos.
Passo 3
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Usamos a expansão em série de Taylor
para
, obtendo
pois todos os termos são positivos. Logo
Passo 4
É conhecido que
quando
, pois
. Portanto
quando
. Da desigualdade do Passo 3 segue que
Em particular, no limite
isso prova que
diverge.
Passo 5
Como a soma dos inversos dos primos diverge, concluímos em especial que não há lista finita de primos capaz de exaurir todos os termos da série. Ou seja, deve existir infinitamente muitos primos. Além disso, vê-se que eles são “suficientemente numerosos” de modo que a soma
cresce sem limite (mais lentamente que o harmônico, mas ainda divergente).
Resposta
A série
diverge. Daí decorre, entre outras coisas, uma prova alternativa de que existem infinitos números primos e que, apesar de sua densidade decrescer, ela não é pequena o bastante para tornar convergente a soma de seus inversos.