A série sump 1p, com p primo, converge ou diverge? O que se pode concluir dessa resposta?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a convergência da série cujos termos são os inversos dos números primos, ou seja,
sump primo1p
O conteúdo principal aqui é análise de séries infinitas e, em particular, usaremos a identidade de Euler para a função zeta e o comportamento de zeta(s) quando sto1^+.

Passo 2

Recordamos a identidade de Euler para a função zeta de Riemann, válida para Re(s)>1:
zeta(s) ;=;sumn=1^infty1n^s ;=;prodp primo11 - p^-s
Essa igualdade relaciona a soma sobre todos os inteiros à um produto sobre todos os primos.

Passo 3

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
ln zeta(s) =lngl(prodp11-p^-sgr) =sumpl[-lnl(1-p^-sr)r]
Usamos a expansão em série de Taylor -ln(1-x)=sumk=1^infty x^k/k para x=p^-s, obtendo
-lnl(1-p^-sr) =sumk=1^inftyp^-ksk ;>=;p^-s1,
pois todos os termos são positivos. Logo
lnzeta(s);>=;sumpp^-s

Passo 4

É conhecido que zeta(s)toinfty quando sto1^+, pois zeta(s)sim1/(s-1). Portanto lnzeta(s)to+infty quando sto1^+. Da desigualdade do Passo 3 segue que
sumpp^-s;longrightarrow;+infty quando sto1^+
Em particular, no limite sto1 isso prova que
sump1p
diverge.

Passo 5

Como a soma dos inversos dos primos diverge, concluímos em especial que não há lista finita de primos capaz de exaurir todos os termos da série. Ou seja, deve existir infinitamente muitos primos. Além disso, vê-se que eles são “suficientemente numerosos” de modo que a soma sum1/p cresce sem limite (mais lentamente que o harmônico, mas ainda divergente).

Resposta

A série sump primo1/p diverge. Daí decorre, entre outras coisas, uma prova alternativa de que existem infinitos números primos e que, apesar de sua densidade decrescer, ela não é pequena o bastante para tornar convergente a soma de seus inversos.

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