Dados os inteiros não nulos
e
, prove que:
(c) Se
e
, então
.
(c) Se
Passo 1
O que o enunciado dá e pede claramente: estamos dados inteiros não nulos
e
e um inteiro
tal que
e
. O que precisamos provar é a igualdade
Informações relevantes que já temos (sem resolver ainda): por
e
existem inteiros
e
com
A resolução começará a partir dessas identidades.
Passo 2
Vou explicar duas coisas essenciais que vou usar e por que são verdadeiras: o que é
e a relação importante entre
,
e o produto dos números.
Definições e propriedade fundamental:
-
é o mínimo múltiplo comum de e : o menor inteiro positivo que é múltiplo de ambos. -
é o máximo divisor comum de e : o maior inteiro positivo que divide ambos.
Propriedade central (que vamos usar): para inteiros não nulos
vale
Explicação didática rápida do porquê: escrevendo
e
em fatoração prima (cada primo
aparece com expoente
em
e
em
), o
usa o expoente
e o
usa
. Como
, o produto
reúne os fatores com expoente
, isto é exatamente a fatoração de
. Essa é uma justificativa padrão e suficiente para usar a fórmula.
Passo 3
Agora aplico a propriedade do passo anterior aos números
e
. Como escrevemos no passo 1,
e
. Então
Passo 4
Uso agora a propriedade simples do
relativa a um fator comum: para quaisquer inteiros
e
,
Justificativa curta e intuitiva: todo divisor comum de
e
tem
como fator comum multiplicado por um divisor comum de
e
; na linguagem de fatoração prima isso também fica claro. Então, aplicando isso a
e
,
Passo 5
Substituo a expressão do passo 4 na igualdade do passo 3:
Agrupando e dividindo ambos os lados por
(observe que
porque
é inteiro não necessariamente zero; se fosse zero o enunciado não faria sentido), obtenho
Passo 6
Aplico novamente a relação
agora aos números
e
:
Multiplicando essa igualdade por
obtemos
Passo 7
Compare as duas igualdades obtidas nos passos 5 e 6:
Como
é um inteiro positivo (portanto não zero), podemos cancelá-lo dos dois lados, ficando
Passo 8
Lembrando que
e
, reescrevo a igualdade do passo 7 para obter exatamente o que queremos:
Isolando
vem
o que prova a afirmação pedida.