Dados os inteiros não nulos a e b, prove que:
(c) Se k \mid a e k \mid b, então \operatorname{mmc}\left(\frac{a}{k}, \frac{b}{k}\right)=\frac{\operatorname{mmc}(a, b)}{|k|}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede claramente: estamos dados inteiros não nulos \,a e \,b e um inteiro \,k tal que \,k \mid a e \,k \mid b. O que precisamos provar é a igualdade
\operatorname{mmc}\!\left(\frac{a}{k},\frac{b}{k}\right)=\frac{\operatorname{mmc}(a,b)}{|k|}.
Informações relevantes que já temos (sem resolver ainda): por \,k \mid a e \,k \mid b existem inteiros \,a' e \,b' com
a = k\,a',\qquad b = k\,b'.
A resolução começará a partir dessas identidades.

Passo 2

Vou explicar duas coisas essenciais que vou usar e por que são verdadeiras: o que é \operatorname{mmc} e a relação importante entre \operatorname{mmc}, \operatorname{mdc} e o produto dos números.
Definições e propriedade fundamental:
  • \operatorname{mmc}(x,y) é o mínimo múltiplo comum de x e y: o menor inteiro positivo que é múltiplo de ambos.
  • \operatorname{mdc}(x,y) é o máximo divisor comum de x e y: o maior inteiro positivo que divide ambos.
Propriedade central (que vamos usar): para inteiros não nulos x,y vale
\operatorname{mmc}(x,y)\cdot \operatorname{mdc}(x,y)=|x\,y|.
Explicação didática rápida do porquê: escrevendo x e y em fatoração prima (cada primo p aparece com expoente e_x em x e e_y em y), o \operatorname{mdc} usa o expoente \min(e_x,e_y) e o \operatorname{mmc} usa \max(e_x,e_y). Como \min+\max = e_x+e_y, o produto \operatorname{mmc}\cdot\operatorname{mdc} reúne os fatores com expoente e_x+e_y, isto é exatamente a fatoração de |x y|. Essa é uma justificativa padrão e suficiente para usar a fórmula.

Passo 3

Agora aplico a propriedade do passo anterior aos números a e b. Como escrevemos no passo 1, a=k\,a' e b=k\,b'. Então
\operatorname{mmc}(k a',\,k b')\cdot \operatorname{mdc}(k a',\,k b') = |k a'\cdot k b'| = |k^2 a' b'|.

Passo 4

Uso agora a propriedade simples do \operatorname{mdc} relativa a um fator comum: para quaisquer inteiros x,y e k,
\operatorname{mdc}(k x,\,k y)=|k|\cdot \operatorname{mdc}(x,y).
Justificativa curta e intuitiva: todo divisor comum de k x e k y tem k como fator comum multiplicado por um divisor comum de x e y; na linguagem de fatoração prima isso também fica claro. Então, aplicando isso a x=a' e y=b',
\operatorname{mdc}(k a',\,k b') = |k|\cdot \operatorname{mdc}(a',\,b').

Passo 5

Substituo a expressão do passo 4 na igualdade do passo 3:
\operatorname{mmc}(k a',\,k b')\cdot \big(|k|\cdot \operatorname{mdc}(a',\,b')\big) = |k^2 a' b'|.
Agrupando e dividindo ambos os lados por |k| (observe que |k|>0 porque k é inteiro não necessariamente zero; se fosse zero o enunciado não faria sentido), obtenho
\operatorname{mmc}(k a',\,k b')\cdot \operatorname{mdc}(a',\,b') = |k|\cdot |a' b'|.

Passo 6

Aplico novamente a relação \operatorname{mmc}\cdot\operatorname{mdc}=|\cdot| agora aos números a' e b':
\operatorname{mmc}(a',\,b')\cdot \operatorname{mdc}(a',\,b') = |a' b'|.
Multiplicando essa igualdade por |k| obtemos
|k|\cdot \operatorname{mmc}(a',\,b')\cdot \operatorname{mdc}(a',\,b') = |k|\cdot |a' b'|.

Passo 7

Compare as duas igualdades obtidas nos passos 5 e 6:
\operatorname{mmc}(k a',\,k b')\cdot \operatorname{mdc}(a',\,b') = |k|\cdot |a' b'| = |k|\cdot \operatorname{mmc}(a',\,b')\cdot \operatorname{mdc}(a',\,b').
Como \operatorname{mdc}(a',\,b') é um inteiro positivo (portanto não zero), podemos cancelá-lo dos dois lados, ficando
\operatorname{mmc}(k a',\,k b') = |k|\cdot \operatorname{mmc}(a',\,b').

Passo 8

Lembrando que a=k a' e b=k b', reescrevo a igualdade do passo 7 para obter exatamente o que queremos:
\operatorname{mmc}(a,b) = |k|\cdot \operatorname{mmc}\!\left(\frac{a}{k},\frac{b}{k}\right).
Isolando \operatorname{mmc}\!\left(\frac{a}{k},\frac{b}{k}\right) vem
\operatorname{mmc}\!\left(\frac{a}{k},\frac{b}{k}\right)=\frac{\operatorname{mmc}(a,b)}{|k|},
o que prova a afirmação pedida.

Resposta

\operatorname{mmc}\!\left(\frac{a}{k},\frac{b}{k}\right)=\frac{\operatorname{mmc}(a,b)}{|k|}

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