Para todo
, calcule:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede o mínimo múltiplo comum de dois inteiros consecutivos. Mais precisamente:
- Dados
com , - Calcular
.
Passo 2
Vou lembrar uma fórmula muito útil que liga máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Para quaisquer inteiros
e
não ambos zero vale
Explicando por que isso é verdade (passo a passo, sem pular): seja
. Podemos escrever
e
com
. Os múltiplos comuns de
e
são exatamente os múltiplos de
; o menor múltiplo comum é
. Logo
Por isso a fórmula acima é válida. Aqui
garante que o mmc seja não negativo (convenção usual).
Passo 3
Agora vamos achar
. Se um inteiro
divide
e também divide
, então
divide a diferença
Portanto
divide
, o que só é possível se
. Como
é tomado não negativo, temos
Isso é a forma formal de dizer: inteiros consecutivos são primos entre si (são coprimos).
Passo 4
Aplicando a fórmula do Passo 2 com
e
, e usando que
do Passo 3, obtemos
Interpretando: o mmc é o produto dos dois (em módulo), pois não há fator comum a cancelar.
Passo 5
Alguns exemplos rápidos para fixar:
- Se
, . - Se
, .
Repara que sempre usamos o valor absoluto porqueé não negativo.