Defina recisamente relação de ordem.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir, de forma precisa, o que é uma relação de ordem.
Informação dada: somente o pedido de definição (não há dados adicionais).

Passo 2

Começando do básico — o que é uma relação binária. Uma relação binária em um conjunto S é um subconjunto
R \subseteq S \times S.
Isso significa que, para alguns pares (a,b) com a,b\in S, dizemos que a está relacionado a b (escreve‑se normalmente a\,R\,b). Antes de chamar R de “relação de ordem” precisamos de três propriedades que explico a seguir: reflexividade, antissimetria e transitividade.

Passo 3

Reflexividade. Dizemos que R é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Formalmente:
\forall a\in S,\quad (a,a)\in R.
Intuição: cada elemento “se compara” com ele mesmo.

Passo 4

Antissimetria. Dizemos que R é antissemétrica se whenever two elements are mutually related then they are equal. Formalmente:
\forall a,b\in S,\quad\bigl((a,b)\in R \text{ e } (b,a)\in R\bigr)\Rightarrow a=b.
Intuição: só se tem relação nos dois sentidos quando os elementos são o mesmo; isso evita ciclos não triviais do tipo aRb e bRa com a\neq b.

Passo 5

Transitividade. Dizemos que R é transitiva se a relação “passa adiante”: sempre que a está relacionado a b e b está relacionado a c, então a está relacionado a c. Formalmente:
\forall a,b,c\in S,\quad\bigl((a,b)\in R \text{ e } (b,c)\in R\bigr)\Rightarrow (a,c)\in R.
Intuição: se a\le b e b\le c, então a\le c.

Passo 6

Agora a definição precisa. Uma relação binária R em S que satisfaz simultaneamente reflexividade, antissimetria e transitividade é chamada de relação de ordem parcial (ou simplesmente ordem) em S. Se, além disso, para todo par a,b\in S vale que (a,b)\in R ou (b,a)\in R (ou ambos quando a=b), dizemos que R é uma ordem total (ou linear).

Passo 7

Observações úteis e forma alternativa (ordem estrita). A ordem estrita < correspondente a uma ordem \preceq é normalmente definida por
a<b \iff a\preceq b \text{ e } a\neq b.
Uma relação estrita satisfaz geralmente irreflexividade ( \forall a,\; \neg(a<a)) e transitividade; a assimetria ( a<b\Rightarrow\neg(b<a)) resulta daí. Em provas: para mostrar que uma relação é ordem, verifique as três propriedades (reflexiva, antissemétrica, transitiva). Para mostrar que é ordem total, acrescente a verificacão da comparabilidade.

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • \le em \mathbb{R} é uma ordem total (verificar reflexividade, antissimetria e transitividade).
  • A relação “divide” em \mathbb{N}, escrita a\mid b, é uma ordem parcial: é reflexiva ( a\mid a), antissimétrica se restrita a inteiros positivos ( a\mid b e b\mid a\Rightarrow a=b) e transitiva.
  • A relação “tem a mesma cor” não é antissimétrica; a relação “é amigo de” geralmente não é reflexiva nem antissimétrica — cuidado com exemplos.

Passo 9

Dica prática para a prova (respire!): ao pedirem “defina precisamente”, escreva a definição formal com as três propriedades em símbolos (como em cima) e logo depois dê uma frase curta de interpretação. Se pedirem verificar que uma relação é ordem, faça três itens: (i) reflexiva — prova; (ii) antissemétrica — prova; (iii) transitiva — prova. Isso garante clareza e pontuação.

Resposta

Uma relação de ordem (parcial) em um conjunto S é uma relação binária \preceq\subseteq S\times S que é reflexiva,
\forall a\in S,\\ (a,a)\in\preceq,
antissemétrica,
\forall a,b\in S,\\ \bigl((a\preceq b)\land(b\preceq a)\bigr)\Rightarrow a=b,
e transitiva,
\forall a,b,c\in S,\\ \bigl((a\preceq b)\land(b\preceq c)\bigr)\Rightarrow a\preceq c.
A ordem é total (linear) se, além disso, \forall a,b\in S vale a\preceq b ou b\preceq a.

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