Defina recisamente relação de ordem.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir, de forma precisa, o que é uma relação de ordem.
Informação dada: somente o pedido de definição (não há dados adicionais).
Informação dada: somente o pedido de definição (não há dados adicionais).
Passo 2
Começando do básico — o que é uma relação binária. Uma relação binária em um conjunto
é um subconjunto
Isso significa que, para alguns pares
com
, dizemos que
está relacionado a
(escreve‑se normalmente
). Antes de chamar
de “relação de ordem” precisamos de três propriedades que explico a seguir: reflexividade, antissimetria e transitividade.
Passo 3
Reflexividade. Dizemos que
é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Formalmente:
Intuição: cada elemento “se compara” com ele mesmo.
Passo 4
Antissimetria. Dizemos que
é antissemétrica se whenever two elements are mutually related then they are equal. Formalmente:
Intuição: só se tem relação nos dois sentidos quando os elementos são o mesmo; isso evita ciclos não triviais do tipo
e
com
.
Passo 5
Transitividade. Dizemos que
é transitiva se a relação “passa adiante”: sempre que
está relacionado a
e
está relacionado a
, então
está relacionado a
. Formalmente:
Intuição: se
e
, então
.
Passo 6
Agora a definição precisa. Uma relação binária
em
que satisfaz simultaneamente reflexividade, antissimetria e transitividade é chamada de relação de ordem parcial (ou simplesmente ordem) em
. Se, além disso, para todo par
vale que
ou
(ou ambos quando
), dizemos que
é uma ordem total (ou linear).
Passo 7
Observações úteis e forma alternativa (ordem estrita). A ordem estrita
correspondente a uma ordem
é normalmente definida por
Uma relação estrita satisfaz geralmente irreflexividade (
) e transitividade; a assimetria (
) resulta daí. Em provas: para mostrar que uma relação é ordem, verifique as três propriedades (reflexiva, antissemétrica, transitiva). Para mostrar que é ordem total, acrescente a verificacão da comparabilidade.
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
-
em é uma ordem total (verificar reflexividade, antissimetria e transitividade). - A relação “divide” em
, escrita , é uma ordem parcial: é reflexiva ( ), antissimétrica se restrita a inteiros positivos ( e ) e transitiva. - A relação “tem a mesma cor” não é antissimétrica; a relação “é amigo de” geralmente não é reflexiva nem antissimétrica — cuidado com exemplos.
Passo 9
Dica prática para a prova (respire!): ao pedirem “defina precisamente”, escreva a definição formal com as três propriedades em símbolos (como em cima) e logo depois dê uma frase curta de interpretação. Se pedirem verificar que uma relação é ordem, faça três itens: (i) reflexiva — prova; (ii) antissemétrica — prova; (iii) transitiva — prova. Isso garante clareza e pontuação.
Resposta
Uma relação de ordem (parcial) em um conjunto
é uma relação binária
que é reflexiva,
antissemétrica,
e transitiva,
A ordem é total (linear) se, além disso,
vale
ou
.