Dados os intervalos \mathrm{A}=[1,9[ e \mathrm{B}=] 3,12[, as quantidades de números inteiros de A \cap B e A \cup B são, respectivamente:
a) 6 e 12
b) 5 e 11
c) 5 e 10
d) 7 e 12
e) 6 e 11

Passo 1

O enunciado dá os intervalos \mathrm{A}=[1,9[ e \mathrm{B}=]3,12[ e pede as quantidades de números inteiros de \mathrm{A}\cap\mathrm{B} e de \mathrm{A}\cup\mathrm{B}, nessa ordem.
Informações relevantes fornecidas:
  • \mathrm{A}=[1,9[ significa todos os x\in\mathbb{R} tais que 1\le x<9.
  • \mathrm{B}=]3,12[ significa todos os x\in\mathbb{R} tais que 3<x<12.
  • Precisamos contar quantos inteiros pertencem a \mathrm{A}\cap\mathrm{B} e quantos inteiros pertencem a \mathrm{A}\cup\mathrm{B}.

Passo 2

Encontrar todos os inteiros que pertencem a \mathrm{A}. Um inteiro n está em \mathrm{A} se e só se
1 \le n < 9,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Os inteiros que satisfazem isso são
\{1,2,3,4,5,6,7,8\}.

Passo 3

Encontrar todos os inteiros que pertencem a \mathrm{B}. Um inteiro n está em \mathrm{B} se e só se
3 < n < 12,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Os inteiros que satisfazem isso são
\{4,5,6,7,8,9,10,11\}.

Passo 4

Calcular \mathrm{A}\cap\mathrm{B}: é o conjunto de inteiros que aparecem em ambas as listas. Intersecando os conjuntos do Passo 2 e do Passo 3:
\mathrm{A}\cap\mathrm{B}=\{4,5,6,7,8\}.
Contar os elementos: quando os inteiros vão de m até n inclusive, a quantidade é n-m+1. Aqui m=4 e n=8, logo a quantidade é
8-4+1=5.
Portanto \mathrm{A}\cap\mathrm{B} contém 5 inteiros.

Passo 5

Calcular \mathrm{A}\cup\mathrm{B}: é o conjunto de inteiros que estão em pelo menos um dos conjuntos. Unindo as listas do Passo 2 e do Passo 3 obtemos
\mathrm{A}\cup\mathrm{B}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}.
Aqui os inteiros vão de m=1 até n=11, então a quantidade é
11-1+1=11.
Observação rápida: 3 está no união porque 3\in\mathrm{A} (mesmo que 3\notin\mathrm{B}), e 9 está na união porque 9\in\mathrm{B} (mesmo que 9\notin\mathrm{A}).

Resposta

b) 5 e 11

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