Dados os intervalos: \mathrm{A}=] 5,9], \mathrm{B}=[7,11], \mathrm{C}=]-2,+\infty[ e \mathrm{D}=]-\infty, 8], determinar:
\mathrm{A} \cap \mathrm{B}

Passo 1

O enunciado pede calcular a interseção \mathrm{A}\cap\mathrm{B}. As informações dadas são (copiadas do enunciado):
  • \mathrm{A}=]5,9].
  • \mathrm{B}=[7,11].
Vou trabalhar apenas com esses dois intervalos para encontrar todos os pontos que pertencem simultaneamente a \mathrm{A} e a \mathrm{B}.

Passo 2

Entender o que significa interseção de conjuntos (explicação didática e simples).
  • A interseção \mathrm{A}\cap\mathrm{B} é o conjunto de todos os números que estão em \mathrm{A} e também em \mathrm{B}.
  • Para intervalos na reta, uma maneira prática é: a interseção é o intervalo que começa no maior dos pontos iniciais (maior limite inferior) e termina no menor dos pontos finais (menor limite superior). Depois é preciso ver se esses extremos aparecem com colchete (incluso) ou parêntese/colchete fechado diferente (excluso), dependendo se cada intervalo inclui esse extremo.

Passo 3

Identificar limites inferiores e superiores e compará-los:
  • Para \mathrm{A}=]5,9]: limite inferior é 5 (aberto) e limite superior é 9 (fechado).
  • Para \mathrm{B}=[7,11]: limite inferior é 7 (fechado) e limite superior é 11 (fechado).
  • O maior limite inferior é \max(5,7)=7.
  • O menor limite superior é \min(9,11)=9.

Passo 4

Decidir inclusão dos extremos na interseção:
  • O extremo esquerdo da interseção será 7. Verificar se 7 pertence a ambos os intervalos:
    • 7\in\mathrm{B} porque \mathrm{B}=[7,11] inclui 7.
    • 7\in\mathrm{A} porque \mathrm{A}=]5,9] contém todos os números maiores que 5; como 7>5, 7 está no interior de \mathrm{A}. Logo 7 pertence a ambos, então o extremo esquerdo é incluído (colchete).
  • O extremo direito da interseção será 9. Verificar se 9 pertence a ambos os intervalos:
    • 9\in\mathrm{A} porque \mathrm{A} inclui 9 (fechado em 9).
    • 9\in\mathrm{B} porque 9 está entre 7 e 11 e \mathrm{B} é fechado em ambos os extremos. Logo 9 pertence a ambos, então o extremo direito também é incluído (colchete).

Passo 5

Montar a interseção com base nos extremos e suas inclusões:
  • Começo em 7 com inclusão e termino em 9 com inclusão, portanto a interseção é o intervalo fechado [7,9].
  • Checando com alguns pontos: 8 está em ambos; 6 não está em \mathrm{B}; 10 não está em \mathrm{A}. Isso confirma que [7,9] é correto.

Resposta

[7,9]

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