Determine o volume de um tronco de pirâmide cujas bases são triângulos equiláteros, sabendo que a área da base maior é 24 \mathrm{~cm}^{2} e que a razão de semelhança entre os lados das bases é \frac{2}{3}, sendo 6 cm a altura do tronco de pirâmide.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o volume de um tronco de pirâmide (frustum) cujas bases são triângulos equiláteros. Informações dadas:
  • A área da base maior é \,24\\ \mathrm{cm}^2.
  • A razão de semelhança entre os lados da base menor e da base maior é \,\frac{2}{3}.
  • A altura do tronco (distância entre as bases) é \,6\\ \mathrm{cm}.
    As bases são triângulos equiláteros, o que garante que as duas bases são semelhantes (mesma forma, apenas escala diferente). O objetivo final é o volume do tronco, em \mathrm{cm}^3.

Passo 2

Vamos entender as ideias úteis e fórmulas que vamos usar (explicadinhas, passo a passo).
  1. Se duas figuras geométricas são semelhantes com razão linear r (ou seja, cada comprimento da figura menor é r vezes o correspondente da maior), então as áreas se relacionam por r^2 e os volumes (no caso de sólidos semelhantes) por r^3. Explicando com calma:
  • Se um lado passa a ser r vezes maior, a área (que depende de duas direções) fica multiplicada por r^2.
  • Se um sólido inteiro é escalado linearmente por r, o volume (dependente de três direções) fica multiplicado por r^3.
    Exemplo rápido: se dobrarmos todos os comprimentos ( r=2), a área fica 2^2=4 vezes maior e o volume 2^3=8 vezes maior.
  1. Para um tronco de pirâmide (frustum) com bases de áreas B (base maior) e b (base menor) e altura h, existe uma fórmula prática:
V = \frac{h}{3}\bigl(B + b + \sqrt{B\,b}\bigr).
Essa fórmula pode ser obtida subtraindo o volume da pirâmide menor (cortada) da pirâmide maior original e usando semelhança; eu vou derivar essa fórmula nos próximos passos para você entender de onde vem.

Passo 3

Derivação da fórmula do volume do tronco (mostrando por que ela vale).
Seja B a área da base maior, b a área da base menor, H a altura da pirâmide grande (antes de cortar) e h a altura do tronco (dada). Seja r a razão linear entre as bases:
r = \frac{\text{lado da base menor}}{\text{lado da base maior}}.
Pelo enunciado temos r=\dfrac{2}{3}, mas por enquanto mantenho r genérico para a derivação.
  • Pela semelhança, a área da base menor é b = r^2 B.
  • A altura da pirâmide pequena (a que foi cortada) é rH porque alturas escalam como comprimentos.
  • A altura do tronco é a diferença entre as alturas: h = H - rH = H(1-r). Assim
H = \frac{h}{1-r}.
O volume da pirâmide grande é \dfrac{1}{3}B H. O volume da pirâmide pequena é \dfrac{1}{3}b\cdot(rH), mas também podemos usar o fato de que volumes escalam por r^3, então V_{\text{pequena}} = r^3 V_{\text{grande}}. Assim o volume do tronco é
V = V_{\text{grande}} - V_{\text{pequena}} = V_{\text{grande}}(1-r^3).
Como V_{\text{grande}}=\dfrac{1}{3}B H e H=\dfrac{h}{1-r}, temos
V = \frac{1}{3}B\cdot\frac{h}{1-r}\cdot(1-r^3).
Note a identidade algébrica
\frac{1-r^3}{1-r} = 1 + r + r^2.
Então
V = \frac{h}{3} B (1 + r + r^2).
Mas r=\sqrt{\dfrac{b}{B}}, então
B(1 + r + r^2) = B + B r + B r^2 = B + \sqrt{B b} + b,
o que nos dá exatamente
V = \frac{h}{3}\bigl(B + b + \sqrt{B b}\bigr).
Prontinho — essa é a fórmula que eu citei antes; agora vamos aplicá‑la aos números do problema.

Passo 4

Calcular a área da base menor usando a razão de semelhança.
A razão linear dada é r=\dfrac{2}{3}. Pelo que explicamos, as áreas escalam por r^2. Assim, se B=24\\ \mathrm{cm}^2 é a área da base maior, a área da base menor b é
b = r^2 B = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 24.
Faço as contas passo a passo:
\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9},
b = \frac{4}{9}\cdot 24 = \frac{4\cdot 24}{9} = \frac{96}{9} = \frac{32}{3}\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 5

Calcular \sqrt{B b} (precisaremos disso na fórmula).
Primeiro produto B\cdot b:
B\cdot b = 24 \cdot \frac{32}{3} = \frac{24\cdot 32}{3}.
Calculo 24\cdot 32 = 768, então
B\cdot b = \frac{768}{3} = 256.
Então a raiz é
\sqrt{B b} = \sqrt{256} = 16.

Passo 6

Agora aplico a fórmula do volume do tronco:
V = \frac{h}{3}\bigl(B + b + \sqrt{B b}\bigr).
Substituo h=6, B=24, b=\dfrac{32}{3} e \sqrt{B b}=16:
V = \frac{6}{3}\left(24 + \frac{32}{3} + 16\right).
Calcule passo a passo:
\frac{6}{3} = 2.
Some dentro dos parênteses transformando tudo em terços para facilitar:
24 = \frac{72}{3},\quad 16 = \frac{48}{3},
24 + \frac{32}{3} + 16 = \frac{72}{3} + \frac{32}{3} + \frac{48}{3} = \frac{72+32+48}{3} = \frac{152}{3}.
Portanto
V = 2\cdot \frac{152}{3} = \frac{304}{3}\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 7

Interpretação rápida do resultado e forma final: a fração \dfrac{304}{3} pode ser deixada assim ou transformada em número misto/decimal:
\frac{304}{3} = 101\frac{1}{3}\\ \mathrm{cm}^3 \approx 101{,}333\\ \mathrm{cm}^3.
Mas a forma exata \dfrac{304}{3}\\ \mathrm{cm}^3 é preferível em provas.

Resposta

\dfrac{304}{3}\\ \mathrm{cm}^3

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