Determine o volume de um tronco de pirâmide cujas bases são triângulos equiláteros, sabendo que a área da base maior é
e que a razão de semelhança entre os lados das bases é
, sendo 6 cm a altura do tronco de pirâmide.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o volume de um tronco de pirâmide (frustum) cujas bases são triângulos equiláteros. Informações dadas:
- A área da base maior é
. - A razão de semelhança entre os lados da base menor e da base maior é
. - A altura do tronco (distância entre as bases) é
.
As bases são triângulos equiláteros, o que garante que as duas bases são semelhantes (mesma forma, apenas escala diferente). O objetivo final é o volume do tronco, em.
Passo 2
Vamos entender as ideias úteis e fórmulas que vamos usar (explicadinhas, passo a passo).
- Se duas figuras geométricas são semelhantes com razão linear
(ou seja, cada comprimento da figura menor é vezes o correspondente da maior), então as áreas se relacionam por e os volumes (no caso de sólidos semelhantes) por . Explicando com calma:
- Se um lado passa a ser
vezes maior, a área (que depende de duas direções) fica multiplicada por . - Se um sólido inteiro é escalado linearmente por
, o volume (dependente de três direções) fica multiplicado por .
Exemplo rápido: se dobrarmos todos os comprimentos (), a área fica vezes maior e o volume vezes maior.
- Para um tronco de pirâmide (frustum) com bases de áreas
(base maior) e (base menor) e altura , existe uma fórmula prática:
Essa fórmula pode ser obtida subtraindo o volume da pirâmide menor (cortada) da pirâmide maior original e usando semelhança; eu vou derivar essa fórmula nos próximos passos para você entender de onde vem.
Passo 3
Derivação da fórmula do volume do tronco (mostrando por que ela vale).
Seja a área da base maior,
a área da base menor,
a altura da pirâmide grande (antes de cortar) e
a altura do tronco (dada). Seja
a razão linear entre as bases:
Seja
Pelo enunciado temos
, mas por enquanto mantenho
genérico para a derivação.
- Pela semelhança, a área da base menor é
. - A altura da pirâmide pequena (a que foi cortada) é
porque alturas escalam como comprimentos. - A altura do tronco é a diferença entre as alturas:
. Assim
O volume da pirâmide grande é
. O volume da pirâmide pequena é
, mas também podemos usar o fato de que volumes escalam por
, então
. Assim o volume do tronco é
Como
e
, temos
Note a identidade algébrica
Então
Mas
, então
o que nos dá exatamente
Prontinho — essa é a fórmula que eu citei antes; agora vamos aplicá‑la aos números do problema.
Passo 4
Calcular a área da base menor usando a razão de semelhança.
A razão linear dada é . Pelo que explicamos, as áreas escalam por
. Assim, se
é a área da base maior, a área da base menor
é
A razão linear dada é
Faço as contas passo a passo:
Passo 5
Calcular
(precisaremos disso na fórmula).
Primeiro produto :
Primeiro produto
Calculo
, então
Então a raiz é
Passo 6
Agora aplico a fórmula do volume do tronco:
Substituo
,
,
e
:
Calcule passo a passo:
Some dentro dos parênteses transformando tudo em terços para facilitar:
Portanto
Passo 7
Interpretação rápida do resultado e forma final: a fração
pode ser deixada assim ou transformada em número misto/decimal:
Mas a forma exata
é preferível em provas.