Dados
A=\left(\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 5 & 2 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right)
calcule A^{-1} e use-a para
(a) achar uma matriz 2 \times 2, X, tal que A X=B.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2\times2:
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
Pede-se:
  • calcular A^{-1} (a inversa de A);
  • usar A^{-1} para achar uma matriz 2\times2, X, tal que A X = B.]

Passo 2

Vamos aprender a fórmula prática para inversa de uma matriz 2\times2. Se
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante é \det(M)=ad-bc. A matriz M é invertível se e só se \det(M)\neq0. A fórmula conhecida para a inversa (quando existe) é
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicando devagar: o número ad-bc mede se as linhas (ou colunas) são linearmente independentes; se for zero, não dá para “desfazer” a transformação linear. A matriz que está multiplicando 1/(ad-bc) é a matriz adjunta (ou adjugate) para 2\times2: troca as entradas da diagonal e muda o sinal das entradas fora da diagonal.]

Passo 3

Aplicando isso em A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix}:
Calcule o determinante:
\det(A)=3\cdot 2 - 5\cdot 1 = 6 - 5 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível. Pela fórmula,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix},
já que \dfrac{1}{\det(A)}=\dfrac{1}{1}=1.]

Passo 4

Agora, para resolver A X = B pela inversa, procedemos assim (álgebra simples com matrizes): multiplicando a equação à esquerda por A^{-1} obtemos
A^{-1}(A X) = A^{-1}B.
Pela associatividade e porque A^{-1}A=I (matriz identidade), tem-se
I X = A^{-1}B \quad\Rightarrow\quad X = A^{-1}B.
Ou seja: basta multiplicar A^{-1} por B.

Passo 5

Vamos multiplicar explicitamente
X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
Lembrete de multiplicação de matrizes 2\times2: a entrada (i,j) do produto é a soma produto das entradas da linha i da primeira com a coluna j da segunda.
Calcule entrada a entrada:
  • Elemento (1,1): 2\cdot 1 + (-1)\cdot 3 = 2 - 3 = -1.
  • Elemento (1,2): 2\cdot 2 + (-1)\cdot 4 = 4 - 4 = 0.
  • Elemento (2,1): (-5)\cdot 1 + 3\cdot 3 = -5 + 9 = 4.
  • Elemento (2,2): (-5)\cdot 2 + 3\cdot 4 = -10 + 12 = 2.
Portanto
X=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas bom para ganhar confiança): calcule A X para ver se sai B.
A X = \begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}.
Entradas:
  • (1,1): 3\cdot(-1) + 1\cdot 4 = -3 + 4 = 1.
  • (1,2): 3\cdot 0 + 1\cdot 2 = 0 + 2 = 2.
  • (2,1): 5\cdot(-1) + 2\cdot 4 = -5 + 8 = 3.
  • (2,2): 5\cdot 0 + 2\cdot 2 = 0 + 4 = 4.
Isso reproduz exatamente B=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}, então a solução está correta. Força aí — deu certo!]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix}
X=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}]

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