A transposta de uma matriz elementar é uma matriz elementar do mesmo tipo? O produto de duas matrizes elementares é um matriz elementar?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  • Pergunta A: A transposta de uma matriz elementar é uma matriz elementar do mesmo tipo?
  • Pergunta B: O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar?
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
  • Matrizes elementares são matrizes obtidas a partir da matriz identidade I aplicando exatamente uma operação elementar de linhas. Existem três tipos básicos (em n\times n):
    1. Permutar (trocar) duas linhas i e j.
    2. Multiplicar uma linha i por um escalar \lambda\neq0.
    3. Somar \alpha vezes a linha j à linha i (com i\neq j).
  • O que significa “mesmo tipo”: quero dizer que, após tomar a transposta, a matriz resultante ainda pertence à mesma classe (swap, escala em uma linha, ou adição de múltiplo de uma linha a outra), possivelmente com índices ou parâmetros alterados.

Passo 2

Vamos definir de forma explícita como são essas matrizes elementares (forma matricial concreta) porque isso facilita ver o efeito da transposição.
  • Tipo 1 — troca de linhas i e j: a matriz é uma permutação simples P_{ij}. Exemplo em forma matricial: trocar as linhas 1 e 2 em 3\times3
P_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Essa matriz é obtida de I trocando duas linhas; tem exatamente duas entradas 1 fora da diagonal principal (onde antes havia dois 1s na diagonal).
  • Tipo 2 — multiplicar a linha i por \lambda ( \lambda\neq0): é uma matriz diagonal D_i(\lambda) igual a I, exceto que o elemento (i,i) vale \lambda em vez de 1. Exemplo em 3\times3 multiplicar a linha 2 por \lambda:
D_2(\lambda)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \lambda & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Tipo 3 — adicionar \alpha vezes a linha j à linha i ( i\neq j): é a matriz
E_{ij}(\alpha)=I+\alpha\,e_{ij},
onde e_{ij} é a matriz com 1 na posição (i,j) e zeros nos outros lugares. Em 3\times3, somar a linha 1 à linha 2 ( \alpha=1) dá
E_{21}(1)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Observação prática: multiplicar à esquerda por E_{ij}(\alpha) realiza a operação “linha i \leftarrow linha i + \alpha,linha j” na matriz que está sendo transformada.]

Passo 3

Agora vou estudar o efeito da transposição em cada tipo — passo a passo e explicando porque.
  • Tipo 1 (permuta P_{ij}):
    • Propriedade útil: permutação simples é uma matriz que tem exatamente uma unidade em cada linha e coluna; tais matrizes são ortogonais no caso de permutas por transposição de linhas, logo
    P_{ij}^{T}=P_{ij}^{-1}=P_{ij}.
    • Conclusão: a transposta de P_{ij} é exatamente a mesma matriz P_{ij}, ou seja é uma matriz elementar do mesmo tipo (troca de linhas).
  • Tipo 2 (dilatação de uma linha D_i(\lambda)):
    • Matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal igual a zero. A transposta de uma matriz diagonal é ela mesma:
    D_i(\lambda)^{T}=D_i(\lambda).
    • Conclusão: a transposta é a mesma matriz elementar (mesmo tipo — multiplicar a linha i por \lambda).
  • Tipo 3 (adição de \alpha vezes linha j à linha i):
    • Começo da conta: escrevi E_{ij}(\alpha)=I+\alpha\,e_{ij}. Tomando a transposta,
    E_{ij}(\alpha)^{T}=(I+\alpha\,e_{ij})^{T}=I^{T}+\alpha\,e_{ij}^{T}=I+\alpha\,e_{ji}.
    • Mas I+\alpha\,e_{ji} é exatamente E_{ji}(\alpha), a matriz que realiza a operação “linha j \leftarrow linha j+ \alpha,linha i” quando multiplicada à esquerda.
    • Conclusão: a transposta de uma matriz elementar do tipo adição continua sendo uma matriz elementar do tipo adição, só que com os índices trocados ( i e j trocados). Então ainda é do mesmo tipo (adição de múltiplo de uma linha a outra).
Resumo deste passo: para cada um dos três tipos básicos, a transposta é novamente uma matriz elementar do mesmo tipo (às vezes idêntica, às vezes trocando índices). Portanto a resposta à Pergunta A é afirmativa — com demonstração explícita por caso.

Passo 4

Agora vamos à Pergunta B: o produto de duas matrizes elementares é sempre uma matriz elementar? Vou explicar a ideia geral e depois dar um contraexemplo concreto para mostrar que, em geral, a resposta é não.
Raciocínio geral (intuição didática):
  • Uma matriz elementar representa exatamente UMA operação elementar de linhas. Assim, uma matriz elementar difere da identidade de uma maneira muito controlada:
    • tipo swap: troca dois 1s da diagonal por 1s fora dela (padrão bem específico);
    • tipo escala: muda apenas um elemento diagonal;
    • tipo adição: muda apenas UMA entrada fora da diagonal (adicionando \alpha em uma posição (i,j)).
  • O produto de duas matrizes elementares corresponde a fazer duas operações elementares em sequência. Geralmente o efeito combinado altera a identidade em mais de uma entrada — e então não pode ser representado por uma única operação elementar (ou seja, por uma única matriz elementar).
Agora um contraexemplo simples e explícito em 3\times3 (mostro as contas, passo a passo):
Escolha duas matrizes elementares do tipo adição:
E = E_{21}(1)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad F = E_{31}(1)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Aqui E representa “linha 2\leftarrow linha 2+1·linha 1” e F representa “linha 3\leftarrow linha 3+1·linha 1”.
Calcule o produto E\cdot F. Faço linha por linha:
  • Primeira linha de E é (1,0,0). Multiplicando por F dá a primeira linha de F: (1,0,0).
  • Segunda linha de E é (1,1,0). Multiplicando por F (1,1,0).
  • Terceira linha de E é (0,0,1). Multiplicando por F dá a terceira linha de F: (1,0,1).
Logo
E\cdot F=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Essa matriz é I+e_{21}+e_{31}: difere da identidade em duas posições fora da diagonal ( (2,1) e (3,1)). Uma matriz elementar do tipo adição só difere da identidade em UMA posição fora da diagonal; uma do tipo escala difere em um único elemento diagonal; uma do tipo swap tem uma forma muito específica (apenas troca dois 1s). Portanto a matriz acima não pode ser obtida aplicando apenas uma operação elementar — ou seja, não é uma matriz elementar.
Conclusão deste passo: o produto (E_{21}(1))\,(E_{31}(1)) não é elemento da coleção de matrizes elementares. Assim, de forma geral, o produto de duas matrizes elementares NÃO precisa ser uma matriz elementar.]

Passo 5

Observações finais úteis para a prova (dicas e exceções que ajudam a responder rápido):
  • Exceções (casos em que o produto de duas matrizes elementares é elementar):
    • Se uma das matrizes for a identidade I, o produto é trivially elementar (igual à outra).
    • Duas dilatações sobre a mesma linha se combinam: D_i(\lambda)\,D_i(\mu)=D_i(\lambda\mu), que é uma única matriz elementar (mesmo tipo).
    • Trocas: P_{ij}\,P_{ij}=I (produto pode ser identidade) e existem situações em que a composição de duas trocas resulta numa troca (por exemplo se trocar i com j e então j com i, volta para I); mas a composição geral de duas trocas pode ser uma permutação que não é uma única troca (não é uma matriz elementar).
  • Regra prática para decidir rapidamente: verifique quantas entradas da identidade são alteradas no produto. Se for mais de uma entrada (fora ou na diagonal, de forma que não corresponda exatamente a um swap único), então não é elementar.

Resposta

Sim. A transposta de uma matriz elementar é sempre uma matriz elementar do mesmo tipo (por exemplo E_{ij}(\alpha)^{T}=E_{ji}(\alpha); permutações e dilatações são simétricas).
Não. Em geral o produto de duas matrizes elementares não é uma matriz elementar (por exemplo (I+e_{21})(I+e_{31})=I+e_{21}+e_{31}, que não é elementar).

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