Dados
e
subespaços de
. Temos que
.
Verdadeiro
Falso
Falso
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
e
A pergunta é: é verdadeiro ou falso que
?
Aqui estão as informações relevantes dadas pelo enunciado:
Aqui estão as informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
é o plano (todos os vetores com terceira coordenada zero). -
é o plano (todos os vetores cuja primeira e segunda coordenadas são iguais). - Queremos saber se a soma direta
é igual a todo .
Passo 2
Primeiro eu te explico direitinho o que significa
. Por definição:
-
é o conjunto de somas . -
significa duas coisas ao mesmo tempo: -
(a soma gera todo o espaço). -
(a interseção é somente o vetor zero — ou seja, a decomposição é única).
Para que a afirmação seja verdadeira, ambas as condições acima precisam valer.
-
Passo 3
Vamos representar
e
de forma mais concreta (isso ajuda a computar interseção e soma).
- Em palavras:
é o plano . Um vetor genérico de é . Logo podemos escrever
Assim
.
- Para
: a condição dá vetores com . Logo
Assim
.
Passo 4
Agora calculemos a interseção
. Um vetor
em
precisa satisfazer simultaneamente
(condição de
) e
(condição de
). Portanto
tem a forma
Logo
que é um subespaço de dimensão
. Em particular,
(há vetores não nulos na interseção, por exemplo
).
Passo 5
A consequência imediata: como
contém vetores não nulos, a condição necessária para soma direta —
— falha. Portanto não podemos ter
. Ou seja, a decomposição não é direta.
(Como comentário de entendimento: embora a soma direta falhe, a soma
ainda pode gerar todo
. Para confirmar isso rapidamente usamos a fórmula de dimensão:
logo
e como
segue que
. Ou seja, toda
é soma de vetores de
e
, mas a decomposição não é única por causa da interseção não trivial.)
Passo 6
Conclusão final: a afirmação "
" é falsa porque a interseção
não é apenas
.
Resposta
Falso