Dados U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=0\right\} e W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=y\right\} subespaços de \mathbb{R}^{3}. Temos que \mathbb{R}^{3}=U \oplus W.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3:
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z=0\}
e
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x=y\}.
A pergunta é: é verdadeiro ou falso que \mathbb{R}^3 = U \oplus W?
Aqui estão as informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • U é o plano z=0 (todos os vetores com terceira coordenada zero).
  • W é o plano x=y (todos os vetores cuja primeira e segunda coordenadas são iguais).
  • Queremos saber se a soma direta U\oplus W é igual a todo \mathbb{R}^3.

Passo 2

Primeiro eu te explico direitinho o que significa \mathbb{R}^3 = U \oplus W. Por definição:
  • U+W é o conjunto de somas \{u+w : u\in U,\; w\in W\}.
  • U\oplus W significa duas coisas ao mesmo tempo:
    1. U+W=\mathbb{R}^3 (a soma gera todo o espaço).
    2. U\cap W=\{0\} (a interseção é somente o vetor zero — ou seja, a decomposição é única).
      Para que a afirmação seja verdadeira, ambas as condições acima precisam valer.

Passo 3

Vamos representar U e W de forma mais concreta (isso ajuda a computar interseção e soma).
  • Em palavras: U é o plano z=0. Um vetor genérico de U é (x,y,0). Logo podemos escrever
U=\{(x,y,0): x,y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}.
Assim \dim(U)=2.
  • Para W: a condição x=y dá vetores (t,t,s) com t,s\in\mathbb{R}. Logo
W=\{(t,t,s): t,s\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}.
Assim \dim(W)=2.

Passo 4

Agora calculemos a interseção U\cap W. Um vetor v em U\cap W precisa satisfazer simultaneamente z=0 (condição de U) e x=y (condição de W). Portanto v tem a forma
v=(t,t,0)=t(1,1,0),\qquad t\in\mathbb{R}.
Logo
U\cap W=\{(t,t,0): t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1,0)\},
que é um subespaço de dimensão 1. Em particular, U\cap W\neq\{0\} (há vetores não nulos na interseção, por exemplo (1,1,0)).

Passo 5

A consequência imediata: como U\cap W contém vetores não nulos, a condição necessária para soma direta — U\cap W=\{0\} — falha. Portanto não podemos ter U\oplus W=\mathbb{R}^3. Ou seja, a decomposição não é direta.
(Como comentário de entendimento: embora a soma direta falhe, a soma U+W ainda pode gerar todo \mathbb{R}^3. Para confirmar isso rapidamente usamos a fórmula de dimensão:
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=2+2-1=3,
logo \dim(U+W)=3 e como \dim(\mathbb{R}^3)=3 segue que U+W=\mathbb{R}^3. Ou seja, toda \mathbb{R}^3 é soma de vetores de U e W, mas a decomposição não é única por causa da interseção não trivial.)

Passo 6

Conclusão final: a afirmação " \mathbb{R}^{3}=U \oplus W " é falsa porque a interseção U\cap W não é apenas \{0\}.

Resposta

Falso

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