Dados U=\left\{A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}): a_{i j}=0\right. se \left.i>j\right\} e W=\left\{A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}): a_{i j}=0\right. se \left.i<j\right\} subespaços de M_{3 \times 3}(\mathbb{R}). Temos que
U \cap W=\left\{A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}): a_{i j}=0 \text { se } i \neq j\right\} .
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de M_{3\times 3}(\mathbb{R}):
U=\{A\in M_{3\times 3}(\mathbb{R}): a_{ij}=0\\ \text{se}\\ i>j\}
e
W=\{A\in M_{3\times 3}(\mathbb{R}): a_{ij}=0\\ \text{se}\\ i<j\}.
Ele afirma que
U\cap W=\{A\in M_{3\times 3}(\mathbb{R}): a_{ij}=0\\ \text{se}\\ i\neq j\}.
A pergunta é: essa igualdade é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes dadas:
  • Em U todos os elementos com índice de linha maior que o de coluna são zero.
  • Em W todos os elementos com índice de linha menor que o de coluna são zero.
  • Queremos verificar se a interseção U\cap W é exatamente o conjunto de matrizes que têm zeros em todas as posições fora da diagonal (ou seja, matrizes diagonais).

Passo 2

Interpretação da condição em U. A condição a_{ij}=0 se i>j significa que todos os elementos estritamente abaixo da diagonal principal são zero. Em palavras simples, U é o conjunto das matrizes triangulares superiores. Para visualizar, uma matriz genérica em U tem a forma
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] 0 & a_{22} & a_{23}\\[4pt] 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}.
Aqui eu peguei essas entradas da interpretação textual da condição i>j.]

Passo 3

Interpretação da condição em W. A condição a_{ij}=0 se i<j significa que todos os elementos estritamente acima da diagonal principal são zero. Assim, W é o conjunto das matrizes triangulares inferiores. Uma matriz genérica em W tem a forma
\begin{pmatrix} b_{11} & 0 & 0\\[4pt] b_{21} & b_{22} & 0\\[4pt] b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}.
Novamente estou apenas escrevendo a forma que decorre da condição i<j.]

Passo 4

Mostrar que todo elemento do conjunto diagonal está em U\cap W. Defina
D=\{A\in M_{3\times 3}(\mathbb{R}): a_{ij}=0\\ \text{se}\\ i\neq j\},
ou seja, D é o conjunto das matrizes diagonais, da forma
\begin{pmatrix} d_{11} & 0 & 0\\[4pt] 0 & d_{22} & 0\\[4pt] 0 & 0 & d_{33} \end{pmatrix}.
Se uma matriz é diagonal então, para i<j temos a_{ij}=0 e para i>j também temos a_{ij}=0. Logo qualquer matriz diagonal satisfaz simultaneamente as condições que definem U e W. Portanto
D \subseteq U\quad\text{e}\quad D \subseteq W,
logo
D \subseteq U\cap W.]

Passo 5

Mostrar a inclusão oposta U\cap W \subseteq D. Tome uma matriz A=(a_{ij}) em U\cap W. Isso significa que A\in U e A\in W ao mesmo tempo. Então:
  • Como A\in U, para todo par (i,j) com i>j vale a_{ij}=0.
  • Como A\in W, para todo par (i,j) com i<j vale a_{ij}=0.
Agora, para qualquer par de índices com i\neq j há duas possibilidades: ou i<j ou i>j. Em ambos os casos a condição acima força a_{ij}=0. Portanto todos os elementos fora da diagonal são zero, isto é, A é diagonal. Assim qualquer A\in U\cap W pertence a D, o que dá
U\cap W \subseteq D.

Passo 6

Concluindo as duas inclusões das etapas anteriores, temos
U\cap W = D,
ou seja, a interseção de matrizes triangulares superiores com triangulares inferiores é exatamente o conjunto das matrizes diagonais. Intuição rápida: para estar nas duas classes você precisa zerar tanto acima quanto abaixo da diagonal — sobra só a diagonal.

Resposta

Verdadeiro

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