Determine x e y, tal que: \left[\begin{array}{cc}x^{2} & 5 y \\\\ 2 x & 6 \\\ x & y-1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}4 & x \\\ y & 4 \\\\ 1 & 2 y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & 33 \\\\ -3 & 2 \\\\ 1 & -8\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: determine x e y tais que a seguinte igualdade de matrizes seja verdadeira:
Pergunta a responder: encontrar os valores de x e y que tornam a igualdade verdadeira.]
Passo 2
Regra importante (a que vamos aplicar): a subtração de matrizes de mesma dimensão é feita elemento a elemento. Ou seja, se
A=[a_{ij}],\quad B=[b_{ij}],
então
A-B=[a_{ij}-b_{ij}].
Isso significa que cada entrada da matriz à esquerda menos a correspondente da matriz do meio deve ser igual à entrada correspondente da matriz à direita. Vamos usar essa regra para escrever equações envolvendo x e y.
Passo 3
Escrevendo a igualdade elemento a elemento obtemos as seguintes equações (uma por cada posição (i,j)):
Linha 1, coluna 1:
x^{2}-4=0.
Linha 1, coluna 2:
5y - x = 33.
Linha 2, coluna 1:
2x - y = -3.
Linha 2, coluna 2:
6 - 4 = 2.
Linha 3, coluna 1:
x - 1 = 1.
Linha 3, coluna 2:
(y-1) - 2y = -8.
Observação: a equação da linha 2 coluna 2 é apenas um cheque ( 6-4=2 ) e está satisfeita identicamente, não traz informação nova sobre x ou y.
Passo 4
Começo pelas equações mais simples. Da linha 1 coluna 1:
x^{2}-4=0\implies x^{2}=4.
Isso dá duas possibilidades:
x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.
Ainda não descartamos nenhuma; guardamos as duas para verificar com as outras equações.
Passo 5
Da linha 3 coluna 1 temos uma equação muito direta:
x-1=1\implies x=1+1\implies x=2.
Isso elimina a possibilidade x=-2, pois a equação da linha 3 coluna 1 exige x=2. Logo adotamos
x=2.
Passo 6
Com x=2, usamos uma das equações lineares para achar y. Por exemplo, da linha 2 coluna 1:
2x - y = -3.
Substituindo x=2:
2\cdot 2 - y = -3 \implies 4 - y = -3.
Isolando y:
-y = -3 - 4 = -7 \implies y = 7.
Passo 7
Fazemos uma verificação rápida nas outras equações para garantir consistência.
Verificando linha 1 coluna 2:
5y - x = 5\cdot 7 - 2 = 35 - 2 = 33,
que coincide com o valor exigido 33.
Verificando linha 3 coluna 2:
(y-1)-2y = 7-1-14 = 6-14 = -8,
que coincide com o valor exigido -8.
Tudo consistente. Portanto a solução é única: x=2 e y=7.