Determine x e y, tal que:
\left[\begin{array}{cc}x^{2} & 5 y \\\\ 2 x & 6 \\\ x & y-1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}4 & x \\\ y & 4 \\\\ 1 & 2 y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & 33 \\\\ -3 & 2 \\\\ 1 & -8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determine x e y tais que a seguinte igualdade de matrizes seja verdadeira:
\begin{bmatrix}x^{2} & 5y \\[4pt] 2x & 6 \\[4pt] x & y-1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}4 & x \\[4pt] y & 4 \\[4pt] 1 & 2y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 33 \\[4pt] -3 & 2 \\[4pt] 1 & -8\end{bmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{Primeira matriz }=\begin{bmatrix}x^{2} & 5y \\[4pt] 2x & 6 \\[4pt] x & y-1\end{bmatrix},\qquad \text{Segunda matriz }=\begin{bmatrix}4 & x \\[4pt] y & 4 \\[4pt] 1 & 2y\end{bmatrix},
\text{Resultado }=\begin{bmatrix}0 & 33 \\[4pt] -3 & 2 \\[4pt] 1 & -8\end{bmatrix}.
Pergunta a responder: encontrar os valores de x e y que tornam a igualdade verdadeira.]

Passo 2

Regra importante (a que vamos aplicar): a subtração de matrizes de mesma dimensão é feita elemento a elemento. Ou seja, se
A=[a_{ij}],\quad B=[b_{ij}],
então
A-B=[a_{ij}-b_{ij}].
Isso significa que cada entrada da matriz à esquerda menos a correspondente da matriz do meio deve ser igual à entrada correspondente da matriz à direita. Vamos usar essa regra para escrever equações envolvendo x e y.

Passo 3

Escrevendo a igualdade elemento a elemento obtemos as seguintes equações (uma por cada posição (i,j)):
Linha 1, coluna 1:
x^{2}-4=0.
Linha 1, coluna 2:
5y - x = 33.
Linha 2, coluna 1:
2x - y = -3.
Linha 2, coluna 2:
6 - 4 = 2.
Linha 3, coluna 1:
x - 1 = 1.
Linha 3, coluna 2:
(y-1) - 2y = -8.
Observação: a equação da linha 2 coluna 2 é apenas um cheque ( 6-4=2 ) e está satisfeita identicamente, não traz informação nova sobre x ou y.

Passo 4

Começo pelas equações mais simples. Da linha 1 coluna 1:
x^{2}-4=0\implies x^{2}=4.
Isso dá duas possibilidades:
x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.
Ainda não descartamos nenhuma; guardamos as duas para verificar com as outras equações.

Passo 5

Da linha 3 coluna 1 temos uma equação muito direta:
x-1=1\implies x=1+1\implies x=2.
Isso elimina a possibilidade x=-2, pois a equação da linha 3 coluna 1 exige x=2. Logo adotamos
x=2.

Passo 6

Com x=2, usamos uma das equações lineares para achar y. Por exemplo, da linha 2 coluna 1:
2x - y = -3.
Substituindo x=2:
2\cdot 2 - y = -3 \implies 4 - y = -3.
Isolando y:
-y = -3 - 4 = -7 \implies y = 7.

Passo 7

Fazemos uma verificação rápida nas outras equações para garantir consistência.
Verificando linha 1 coluna 2:
5y - x = 5\cdot 7 - 2 = 35 - 2 = 33,
que coincide com o valor exigido 33.
Verificando linha 3 coluna 2:
(y-1)-2y = 7-1-14 = 6-14 = -8,
que coincide com o valor exigido -8.
Tudo consistente. Portanto a solução é única: x=2 e y=7.

Resposta

x=2
y=7

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