As incógnitas são as matrizes X e Y. Queremos encontrar X e Y que satisfaçam simultaneamente as duas igualdades matriciais.]
Passo 2
Breve lembrete sobre operações com matrizes (útil para a prova): somar ou subtrair matrizes é feito entrada a entrada; multiplicar uma matriz por escalar multiplica cada entrada por esse escalar. Igualdade entre matrizes significa igualdade em todas as entradas correspondentes. Essas operações obedecem as mesmas regras algébricas dos números (associatividade, distributividade por escalar, etc.), então podemos tratar o sistema como um sistema linear em X e Y e usar eliminação algébrica.
Passo 3
Isolo Y usando a segunda equação. A segunda equação é
2X+Y=A+B.
Subtraindo 2X dos dois lados obtemos
Y=A+B-2X.
Passo 4
Substituo a expressão de Y na primeira equação. A primeira equação é
X-2Y=3A-2B.
Substituindo Y=A+B-2X obtemos
X-2\bigl(A+B-2X\bigr)=3A-2B.
Passo 5
Faço a distribuir o -2 e simplifico. Distributiva dá
X-2A-2B+4X=3A-2B.
Agora junto os termos semelhantes em X:
5X-2A-2B=3A-2B.
Passo os termos livres para o outro lado somando 2A+2B:
5X=3A-2B+2A+2B.
Agrupando os termos em A e B temos
5X=(3A+2A)+(-2B+2B)=5A+0=5A.
Logo
X=A.
Passo 6
Com X encontrado, volto à expressão de Y do Passo 3:
Y=A+B-2X.
Substituindo X=A dá
Y=A+B-2A=B-A.
Ou seja, Y é simplesmente a diferença entre B e A.
Passo 7
Calculo Y=B-A entrada a entrada. Das matrizes do enunciado:
Verificação rápida (opcional, mas bom na prova): substituindo X=A e Y=B-A nas equações originais as duas igualdades são satisfeitas por construção (já que derivamos X e Y algebraicamente), e os cálculos numéricos do Passo 7 confirmam que as entradas batem.